Kółko z geometrii

TW. Niech H b_{}edzie ortocentrum trójk _{}ata ABC. Wówczas obrazy H przy symetrii wzgl_{}edem boków leż _{}a na okr_{}egu opisanym na ABC.

1. Niech punkty A_{1}, B_{1}, C_{1} b_{}ed _{}a przeci_{}eciami wysokości poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków A, B, C trójk _{}ata ABC z okr_{}egiem nań opisanym. Znaleźć stosunek:

[ABC]
[AC_{1}BA_{1}CB_{1}]

2. Na okr_{}egu opisanym na trójk _{}acie ABC obrano punkty A_{2}, B_{2}, C_{2}, by odcinki AA_{2}, BB_{2}, CC_{2} były średnicami okr_{}egu. Znaleźć stosunek:

[ABC]
[AC_{2}BA_{2}CB_{2}]

3. Na okr_{}egu Γ dane s _{}a punkty A i B. Punkt C leży na okr_{}egu i jest ruchomy. Znaleźć miejsce geometryczne ortocentrów trójk _{}ata ABC przy zmiennym punkcie C.

4. Niech H b_{}edzie ortocentrum trójk _{}ata ABC. Pokazać, że okr_{}egi opisane na trójk _{}atach ABH, ACH, BCH s _{}a przystaj _{}ace.

5. Niech AA_{1}, BB_{1}, CC_{1} b_{}ed _{}a wysokościami trójk _{}ata ABC. Pokazać, że:

\frac{[A_{1}B_{1}C_{1}]}{[ABC]} \frac{1}{4}

6. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC poprowadzono wysokość CC′. Niech S i T b_{}ed _{}a rzutami punktu C′ na proste AC i BC odpowiednio. Pokazać, że na czworok _{}acie ABT S da si_{}e opisać okr _{}ag.

7. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC poprowadzono wysokość CC′zaś M jest środkiem odcinka AB. Prosta k jest prostopadła do BC i przechodzi przez C′, zaś prosta l jest prostopadła do AC i również przechodzi przez C′. Proste k i l przecinaj _{}a proste odpowiednio AC i BC w punktach K i L. Niech E b_{}edzie przeci_{}eciem odcinków KB i LA. Pokazać, że punkty E, M, C s _{}a współliniowe.

8. W trójk _{}acie ABC poprowadzono wysokość AA_{1}, zaś H jest jego ortocentrum. Pokazać, że jeśli R to promień okr_{}egu opisanego na ABC zaś O jest środkiem tego okr_{}egu, to zachodzi:

|AH||A_{1}H| = \frac{R^{2} − |OH|^{2}}{2}