Kółko z teorii liczb

1.T. Dana jest liczba pierwsza p oraz liczby całkowite x, y, z, że

0 < x < y < z < p

Wykazać, że jeśli liczby x^{3}, y^{3}, z^{3} daj _{}a równe reszty z dzielenia przez p to x^{2} + y^{2} + z^{2} dzieli si_{}e przez x + y + z.

2.T. Pokazać, że dla dowolnych a,b całkowitych dodatnich liczby a oraz a^{2} + 3b(a + b) nie mog _{}a być obie jednocześnie sześcianami liczb całkowitych.

3.T. Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n 2 można znaleźć n różnych liczb naturalnych takich, że suma dowolnych dwóch spośrod tych liczb jest podzielna przez ich różnic_{}e.

4.Ś. Rostrzygn _{}ać, dla jakich n, ze zbioru {n^{2} + 1, n^{2} + 2, … n^{2} + 2n} da si_{}e wybrać a, b, c, że c|a^{2} + b^{2}.

5.Ł. Liczb _{}a Grabowskiego nazywamy liczb_{}e składaj _{}ac _{}a si_{}e z samych jedynek. Pokazać, że dla każdego n⊥10 istnieje liczba Grabowskiego podzielna przez n.

6.Ł. Pokazać, że dla każdego p nieparzystego pierwszego istnieje nieskończenie wiele k całkowitych dodatnich, że:

p| ∑_{i=1}^{p−1} i^{k}

7.Ł. Pokazać, że dla każdego naturalnego n istnieje wyraz ci _{}agu Fibonacciego podzielny przez n.

8.Ś. Niech n i m b_{}ed _{}a liczbami naturalnymi. Pokazać, że jeśli n|m to f_{n}|f_{m}, gdzie f_{i} to i-ty wyraz ci _{}agu Fibonacciego.

UWAGA. Ci _{}ag Fibonacciego definiujemy nast_{}epuj _{}aco:

f_{1} = 1, f_{2} = 1, f_{n+2} = f_{n+1} + f_{n}