Kółko wakacyjne

1. Pokazać, że dla każdej liczby pierwszej p zachodzi:

p|(p − 1)! + 1

2. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w punkcie D. Prosta k jest styczna do okregów o_{1} i o_{2} odpowiednio w punktach A i B. Odcinek AC jest średnic _{}a okr_{}egu o_{1}. Prosta l przechodzi przez punkt C i jest styczna do okr_{}egu o_{2} w punkcie E. Wykazać, że AC = CE.

3. Pewna nauczycielka zrobiła klasie 1A test, w którym można było dostać n punktów. Jeden punkt otrzymała połowa klasy i jeszcze jedna osoba, dwa punkty połowa reszty i jeszcze dwie osoby itd. aż wreszcie n punktów połowa reszty i jeszcze n osób. Jeśli nikt nie dostał zera punktów, to ile osób jest w klasie 1A?

4. Pokazać, że jeśli a, b, c s _{}a bokami trójk _{}ata, to zachodzi:

a^{2}(b + c − a) + b^{2}(c + a − b) + c^{2}(a + b − c) 3abc

5. Na ile sposobów da si_{}e prostak _{}at 2 na n pokryć prostok _{}atami 2 na 1?

6. W trójk _{}acie ABC umieszczono trzy okr_{}egi o równych promieniach, takie, że każdy z nich jest styczny do innej pary boków trójk _{}ata oraz wszystkie przechodz _{}a przez pewien punkt D. Pokazać, że D, środek okr_{}egu wpisanego i środek okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie leż _{}a na jednej prostej.