Kółko z prostej Simpsona

1. Pokazać, że dla każdej liczby pierwszej p zachodzi:

p|(p − 1)! + 1

2. Znaleźć wszystkie pary (k, l) liczb całkowitych nieujemnych spełniaj _{}acych równanie

2^{k} + 3 = 5^{l}

.

3. Znaleźć wszystkie pary (k, l) liczb całkowitych nieujemnych spełniaj _{}acych równanie

2^{k} − 7 = 5^{l}

.

4. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okżag. Punkty P, Q, R s _{}a rzutami punktu D na boki BC, AC, AB odpowiednio. Pokazać, że P Q = QR wtedy i tylko wtedy gdy dwusiecznie k _{}atów ABC i ADC przecinaj _{}a si_{}e na odcinku AC.

5. Prostok _{}at A_{1}A_{5}A_{6}A_{2} podzielono odcinkiem A_{3}A_{4} na dwa prostok _{}aty tak, że A_{3} leży na odcinku A_{1}A_{5} zaś A_{4} na odcinku A_{2}A_{6}. Nast_{}epnie prostok _{}at A_{3}A_{4}A_{6}A_{5} podzielono na dwa prostok _{}aty odcinkiem XY, że X leży na odcinku A_{5}A_{6} zaś Y na A_{3}A_{4}. Niech Q, P b_{}ed _{}a rzutami punktu X na proste A_{3}A_{2} oraz A_{1}A_{4} odpowiednio. Pokazać, że punkty A_{5}, Y, P s _{}a współliniowe wtedy i tylko wtedy gdy punkty A_{6}, Y, Q s _{}a współliniowe.

6. Na płaszczyźnie dany jest trójk _{}at ostrok _{}atny ABC oraz punkt X na zewn _{}atrz od niego i zawarty w k _{}acie ABC, że P - rzut X na prost _{}a AB leży na zewn _{}atrz odcinka AB, zaś Q - rzut X na prost _{}a BC leży wewn _{}atrz odcinka BC. Niech R b_{}edzie przeci_{}eciem prostych AC i P Q. Pokazać, że proste AC i XR s _{}a prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójk _{}aty XP A i XQC s _{}a podobne.

7. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkty D i E s _{}a spodkami wysokości z A i B odpowiednio. Zbudowano prostok _{}at EW DU taki, że dwa z jego boków zawieraj _{}a si_{}e w prostej BC i wysokości spuszczonej z A. Prosta UW przecina bok AB w punkcie P. Pokazać, że proste EP i AB s _{}a prostopadłe.