Kółko z okr_{}egu Apoloniusza i inszych rzeczy

1. Na okr_{}egu o środku w O i promieniu R obrano punkty A i D. Na półprostej OD obrano punkty B,C, takie, że OB · OC = R^{2}. Pokazać, że prosta AD jest dwusieczn _{}a k _{}ata BAC.

2. W trójk _{}acie ABC niech D b_{}edzie punktem przeci_{}ecia dwusiecznej k _{}ata C z bokiem AB. Przez P oznaczmy pole trójk _{}ata ABC. Udowodnić, że zachodzi nierówność

2P (\frac{1}{AD} − \frac{1}{BD}) AB

.

3. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC dany jest punkt P, taki, że ∠AP B = ∠ACB + 90^{∘}. Pokazać, że styczne do okr_{}egów opisanych na trójk _{}atach CP A i CP B poprowadzone w punkcie C s _{}a prostopadłe.

4. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC dany jest punkt P, taki, że ∠AP B = ∠ACB + 90^{∘}. Ponadto AC · BP = BC · AP. Obliczyć \frac{P C·AB}{AC·BP}.

5. Skonstruować trójk _{}at ABC maj _{}ac dane boki AB i AC oraz k _{}at ∠AMB gdzie M jest środkiem boku BC.

6. Trójk _{}at ma boki a, b, c oraz pole S. Pokazać, że:

a^{2} + b^{2} + c^{2} 4\sqrt{3}S

.