Różne rzeczy

1. Pokazać, że dla każdego n całkowitego dodatniego istnieje ci _{}ag n kolejnych liczb, z których żadna nie jest pierwsza.

2. Pokazać, że dla każdego n całkowitego dodatniego istnieje ci _{}ag n kolejnych liczb, z których żadna nie jest pierwsza ani nie pot_{}eg _{}a liczby pierwszej.

3. Wyznaczyć wszystkie naturalne n 2 dla których każda z liczb:

\binom{n}{1} , \binom{n}{2} , …, \binom{n}{n − 1}

jest parzysta.

4. Wyznaczyć wszystkie wielomiany W o współczynnikach całkowitych dla których dla każdego n naturalnego zachodzi W (n)|2^{n} − 1.

5. Wielomian W dla dwóch różnych liczb całkowitych przyjmuje wartości wzgl_{}ednie pierwsze. Pokazać, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych, dla których W przyjmuje wartości parami wzgl_{}ednie pierwsze.

6. Pokazać, że dla każdego ci _{}agu liczb pierwszych p_{1}, p_{2}, …, p_{k} istnieje k kolejnych liczb naturalnych, że pierwsza jest podzielna przez p_{1}, druga przez p_{2} itd.