Zadania różne, głównie teoria liczb

1. Dla każdego n naturalnego znaleźć sum_{}e:

⌊\frac{n + 1}{2} ⌋ + ⌊\frac{n + 2}{4} ⌋ + ⌊\frac{n + 4}{8} ⌋ + … + ⌊\frac{n + 2^{k}}{2^{k+1}} ⌋ + …

2. Niech k = 4444^{4444} zaś S(x) oznacza sum_{}e cyfr liczby x w systemie dziesi_{}etnym. Policz S(S(S(k))).

3. Wśród liczb od 1 do 2n wybrano n + 1. Pokaż, że s _{}a wśród nich dwie wzgl_{}ednie pierwsze.

4. Wśród liczb od 1 do 2n wybrano n + 1. Pokaż, że s _{}a wśród nich dwie, z których jedna dzieli drug _{}a.

5. Na płaszczyźnie dana jest skończona rodzina okr_{}egów ograniczaj _{}acych figur_{}e o polu 100. Pokazać, że da si_{}e wybrać spośrod nich podzbiór rozł _{}acznych okr_{}egów o polu 10.

6. Na płaszczyźnie dana jest skończona rodzina trójk _{}atów rownobocznych ograniczaj _{}acych figur_{}e o polu 16. Pokazać, że da si_{}e wybrać spośrod nich podzbiór rozł _{}acznych trójk _{}atów o polu 1.

7. Pokazać, że w bryle o obj_{}etości 1000 da si_{}e wybrać 200 punktów, z których każde dwa s _{}a odległe o co najmniej 1.