Kółko z przeróżnych rzeczy

1. Pokazać, że dla dowolnych ci _{}agów x_{i}, b_{i} ∈ ℝ^{+} długości n, że ∑ x_{i} = ∑ b_{i} = 1 zachodzi:

∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{2}}{b_{i}} 1

2. Pokazać, że dla dowolnego ci _{}agu a_{i} ∈ ℝ^{+} długości n,że ∏ a_{i} = 1 zachodzi:

∏_{i=1}^{n} (2 + a_{i}) 3^{n}

3. Rostrzygn _{}ać, czy szachownic_{}e 11× 10 da si_{}e pokryć poziomymi klockami 2× 1 i pionowymi 3 × 1.

4. Na bokach CD i AB kwadratu ABCD o boku 1 obrano odpowiednio punkty X_{1}, X_{2}, …, X_{1001} i Y_{1}, Y_{2}, …, Y_{1001}. Pokazać, że jeśli l to długość łamanej AX_{1}Y_{1}X_{2}Y_{2} … X_{1001}Y_{1001}C to zachodzi:

\sqrt{2003^{2} + 1} l 2003\sqrt{2}

5. Dla jakich k ∈ {0, 1, 2, … 31} równanie

2^{x} + k = 33^{y}

ma rozwi _{}azanie w x, y całkowitych nieujemnych?

6. Funkcja f : ℤ^{+} ∪ {0} → ℤ^{+} ∪ {0} spełnia nast_{}epuj _{}ace warunki dla wszystkich n całkowitych nieujemnych:

f(2n) = 3f(n)
f(2n + 1) = f(2n) + 1

Jakie liczby należa do zbioru wartości funkcji f?

JACO. Na płaszczyźnie dany jest k _{}at i punkty A i B wewn _{}atrz niego. Skonstruować trojk _{}at równoramienny o podstawie na jednym ramieniu k _{}ata, wierzchołku mi_{}edzy równymi ramionami na drugim oraz tak, by punkty A i B należały do dwóch różnych ramion.