Par_{}e fajnych fakcików z geometrii

1. Ciećiwa AB okr_{}egu o jest równoległa do stycznej do tego okr_{}egu w punkcie C. Na tej stycznej obrano dowolny punkt P. Proste AP i P B przecinaj _{}a okr _{}ag o jeszcze w punktach M i N. Pokazać, że prosta MN połowi odcinek P C.

2. Okr _{}ag o został podzielony przez n średnic na 2n przystaj _{}acych fragmentów. Pokazać, że rzuty dowolnego punktu M z wn_{}etrza okr_{}egu na te średnice s _{}a wierzchołkami n-k _{}ata foremnego.

3. W k _{}at o wierzchołku X wpisano okr_{}egi o_{1} i o_{2}. Okr _{}ag s jest styczny do o_{1} w punkcie A zaś do o_{2} w punkcie B. Pokazać, że A, B, X s _{}a współliniowe.

4. W trójk _{}acie ABC okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3} s _{}a styczne odpowiednio do boków AB i AC, BC i AB oraz AC i BC. Okr _{}ag s jest styczny zewn_{}etrznie do o_{1}, o_{2}, o_{3} odpowiednio w punktach K, L, M. Pokazać, że AK,BL,CM przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

5. W trójk _{}acie ABC I jest środkiem okr_{}egu wpisanego, który jest styczny do boków BC,AC,AB odpowiednio w punktach K, L, M. Niech K′, L′, M′ b_{}ed _{}a punktami symetrycznymi do K, L, M wzgl_{}edem I. Pokazać, że AK′,BL′,CM′ przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6. W trójk _{}acie ABC I jest środkiem okr_{}egu wpisanego, K jego rzutem na bok BC zaś K′ odbiciem K wzgl_{}edem I. Ponadto M jest środkiem boku BC. Prosta AK′ przecina bok BC w punkcie D. Prosta AM oraz ID przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Pokazać, że [AP I] = [DP M].

7. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Styczna do o_{2} w punkcie A przecina o_{1} w A i M, zaś styczna do o_{1} w punkcie A przecina o_{2} w A i N. Pokazać, że:

(a) ∠MAN + ∠ABN = 180^{∘}

(b) \frac{BM}{BN} = (\frac{AM}{AN} )^{2}