Kółko z stereometrii

1. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC obrano punkt P zaś K, L, M s _{}a jego rzutami na boki BC, AC, AB odpowiednio. Pokazać, że:

8|P K||P L||P M| |P A||P B||P C|

2. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} zachodzi:

\frac{a}{\sqrt[3]{a^{3} + 63bcd}} + \frac{b}{\sqrt[3]{b^{3} + 63acd}} + \frac{c}{\sqrt[3]{c^{3} + 63abd}} + \frac{d}{\sqrt[3]{d^{3} + 63abc}} 1

3. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} zachodzi:

\sqrt{\frac{a^{3}}{b + c}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{c + d}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{d + a}} + \sqrt{\frac{d^{3}}{a + b}} \frac{a + b + c + d}{\sqrt{2}}

4. Punkt M jest środkiem okr_{}egu k. Okr _{}ag k_{1} ma środek S na okr_{}egu k i promień odeń mniejszy. Niech X b_{}edzie Dowolnym punktem odcinka MS leż _{}acym na zewn _{}atrz okr_{}egu k_{1}. Prosta styczna do k_{1} przechodz _{}aca przez X przecina k w A i B. Niech a i b b_{}ed _{}a prostymi stycznymi do k_{1} przechodz _{}acymi przez A i B odpowiednio i nie zawieraj _{}acymi punktu X. Pokazać, że proste a, b i SM przecinaj _{}a sie w jednym punkcie.

5. Dla czworościanu ABCD wiadomo, że istnieje sfery styczna do odcinków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N. Pokazać, że wówczas K, L, M, N leż _{}a na jednej płaszczyźnie.

6. W przestrzeni dany jest trójk _{}at ABC oraz sfera s rozł _{}aczna z płaszczyzna ABC. Przez każdy z punktów A, B, C poprowadzono prost _{}a styczn _{}a do tej sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio K, L, M. Punkt P leży na sferze s i spełnia warunki:

\frac{AK}{AP} = \frac{BL}{BP} = \frac{CM}{CP}

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie ABCP jest styczna do sfery s.

7. Czworościan ABCD ma nast_{}epuj _{}ac _{}a własność: isnieje sfera κ = κ(ABC) posiadaj _{}aca t_{}e własność, że każdy z boków trójk _{}ata ABC jest średnic _{}a okr_{}egu powstałego przeci_{}ecia odpowiedniej ściany czworościanu (ABD, ACD, BCD) z t _{}a sfer _{}a. Pokazać, że wówczas istniej _{}a sfery analogicznie określone dla pozostałych ścian czworościanu.

8. W czworościanie ABCD odbito: C wzgl_{}edem A uzyskuj _{}ac K, B wzgl_{}edem C uzyskuj _{}ac L, A wzgl_{}edem D uzyskuj _{}ac M oraz C wzgl_{}edem D uzyskuj _{}ac N. Pokazać, że obj_{}etość czworościanu KLMN jest dwa razy wi_{}eksza od obj_{}etości czworościanu ABCD.