Kółko z Jensena

1. Pokazać, że dla x, y, z ∈ ℝ^{+} , że x + y + z = 1 zachodzi:

\frac{3x + 1}{x + 1} + \frac{3y + 1}{y + 1} + \frac{3z + 1}{z + 1} \frac{9}{2}

2. Pokazać, że dla x, y, z ∈ ℝ^{+} , że x + y + z = 1 zachodzi:

x^{\frac{3}{2}} + y^{\frac{3}{2}} + z^{\frac{3}{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

3. Pokazać, że dla x, y, z ∈ ℝ^{+} zachodzi:

x\sqrt{y + z} + y\sqrt{x + z} + z\sqrt{x + y} \sqrt{2(x + y + z)(xy + yz + zx)}

4. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} zachodzi:

\frac{a}{\sqrt[3]{a^{3} + 63bcd}} + \frac{b}{\sqrt[3]{b^{3} + 63acd}} + \frac{c}{\sqrt[3]{c^{3} + 63abd}} + \frac{d}{\sqrt[3]{d^{3} + 63abc}} 1

5. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} zachodzi:

\sqrt{\frac{a^{3}}{b + c}} + \sqrt{\frac{b^{3}}{c + d}} + \sqrt{\frac{c^{3}}{d + a}} + \sqrt{\frac{d^{3}}{a + b}} \frac{a + b + c + d}{\sqrt{2}}

6. Liczby x, y, z s _{}a nieujemne i sumuj _{}a si_{}e do \frac{π}{2}. Pokazać, że:

1 sinx + siny + sinz \frac{3}{2}

7. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC obrano punkt P zaś K, L, M s _{}a jego rzutami na boki BC, AC, AB odpowiednio. Pokazać, że:

8|P K||P L||P M| |P A||P B||P C|

8. Liczby x, y, z s _{}a dowolnymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi, zaś t jest dowoln _{}a liczb _{}a rzeczywist _{}a. Oznaczmy: L = x^{t}y + xy^{t} + x^{t}z + xz^{t} + y^{t}z + yz^{t} oraz P = 2(x + y + z)(\frac{xy+yz+xz}{x+y+z} )^{t}. Dla jakich t dla dowlnego wyboru x, y, z zachodzi zawsze L P a dla jakiego L P?