Zadanka z równanek funkcyjnych i nie tylko

1. Znależć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace własność dla wszystkich x, y ∈ ℝ:

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

2. Znależć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ, ci _{}agłe, spełniaj _{}ace własność dla wszystkich x ∈ ℝ:

f(f(x)) = f(x) + x

3. Znależć wszystkie funkcje f : ℚ → ℚ spełniaj _{}ace własność dla wszystkich x, y ∈ ℚ:

f(x^{2} + y) = xf(x) + f(y)

4. Funkcja f : ℝ → ℝ dla dowolnego x rzeczywistego spełnia róności:

f(x) = f(2x) = f(1 − x)

Dowieść, że f jest okresowa.

5. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem równobocznym o boku długości 1, zaś P punktem wewn _{}atrz niego. Niech X, Y, Z odpowiednio przeci_{}ecia P A, P B, P C z bokami BC, AC, AB. Pokazać, że:

\frac{\sqrt{3}}{2} P X + P Y + P Z < 1

6. Niech ABCD b_{}edzie czworościanem foremnym o kraw_{}edzi długości 1, zaś P punktem wewn _{}atrz niego. Niech X, Y, Z, W odpowiednio przeci_{}ecia P A, P B, P C, P D ze ścianami BCD, ACD, ABD i ABC. Pokazać, że:

\frac{\sqrt{6}}{3} P X + P Y + P Z + P W < 1