Geometria różna

1. Na zewn _{}atrz boków AC i BC trójk _{}ata ABC dobudowano prostok _{}aty ACP Q i BCRS o równych polach. Niech M b _{}Edzie środkiem odcinka P R zaś O Środkiem okr_{}efu opisanego na ABC. Pokazać, że punkty M,C,O s _{}a współliniowe.

2. Dany jest trójk _{}at ABC w którym AC > BC. Punkt D jest środkiem łuku AB okr_{}egu opisanego na ABC zawieraj _{}acego C. E jest rzutem D na prost _{}a AC. Pokazać, że AE = EC + BC.

3. Na okr_{}egu o środku O i średnicy AB obrano punkt C by OC było prostopadłe do AB. Nast_{}epnie na krótszym łuku BC obrano dowolny punkt P. Prosta P C przecina prost _{}a AB w punkcie Q. Prosta l jest prost _{}a prostopadł _{}a do AB przechodz _{}ac _{}a przez punkt Q. Prosta AP przecina prost _{}a l w punkcie R. Pokazać, że RQ = BQ.

4. Okr _{}ag maj _{}acy za średnic_{}e wysokość trójk _{}ata ABC puszczon _{}a z A przecina boki AB i AC w D i E odpowiednio. Niech O b_{}edzie środkiem okżegu opisanego na ABC. Pokazać, że OA ⊥ DE.

5. Punkty Q i R leż _{}a na okr_{}egu γ. Punkt P jest przeci_{}eciem stycznych do okr_{}egu przechodz _{}acych przez Q i R. Punkt A leży na przedłużeniu P Q bliżej Q niż P. Okr_{}eg opisany na trójk _{}acie AP R przecina okr _{}ag γ w punkcie B, zaś prosta AR przecina γ w C. Pokazać, że ∠P AR = ∠ABC.

6. Trójk _{}at ABC ma k _{}at prosty przy wierzchołku C. Dwusieczne k _{}atów przy wierzchołkach A i B przecinaj _{}a boki BC i AC odpowiednio w P i Q. Niech M i N b_{}ed _{}a rzutami prostopadłymi odpowiednio P i Q na AB. Znaleźć miar_{}e k _{}ata ∠MCN.

7. Okr_{}egi C_{1} i C_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach M i N, zaś ich wspólna styczna jest do nich styczna w punktach P i Q odpowiednio, gdzie prosta P Q jest bliżej punktu N niż M. Prosta P N przecina okr _{}ag C_{2} w punktach N i R. Pokazać, że prosta MQ jest dwusieczn _{}a k _{}ata P MR.

8. Sześciok _{}at ABCDEF jest opisany na okr_{}egu s. Punkty styczności s z bokami AB,CD,EF leża w połowie tych boków i nazywaj _{}a si_{}e odpowiednio P,Q,R. Ponadto punkty styczności s z bokami DE,F A,BC nazywaj _{}a si_{}e odpowiednio X,Y,Z. Pokazać, że proste P X,QY i RZ przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.