Kombinatoryka

1. Klockiem b_{}edziemy nazywać bryłe powstał _{}a w wyniku wyrzucenia jednego z sześcianików jednostkowych z sześcianu 2×2×2 złożonego z sześciańików jednostkowych. Pokazać, że dowolny sześcian 2^{k} × 2^{k} × 2^{k} z wyrzuconym dowolnym sześcianikiem jednostkowym da si_{}e zbudować z klocków.

2. W n-osobowym stowarzyszeniu działa sześć komisji. W skład każdej z nich wchodzi grupa nie mniej niż n/4 osób. Dowieść, że istniej _{}a dwie komisje oraz grupa licz _{}aca nie mneij niż n/30 osób, należ _{}acych do obu tych komisji.

3. W grupie n 3 osób każda ma parzyst _{}a (być może zerow _{}a) liczb_{}e znajomych. Pokazać, że istniej _{}a trzy osoby maj _{}ace tak _{}a sam _{}a liczb_{}e znajomych.

4. W turnieju tenisowym brało udział n graczy. Każdy rozegrał z każdym innym jeden mecz przy czym w tenisie nie ma remisów. Udowodnić, że istnieje taki gracz A, który pokonał każdego innego gracza B bezpośrednio lub pośrednio, tzn. A wygrał z B, lub A pokonał pewnego przeciwnika C, który wygrał z B.

5. Ze środka kwadratu wybiega promień świetlny, który odbija si_{}e od boków kwadratu zgodnie z zasad _{}a odbicia. Po pewnym czasie promień wraca do środka kwadratu. Promień nie trafił w wierzchołek, ani nie trafił wczesńiej w środek. Pokazać, że liczba odbić od boków kwadratu jest nieparzysta.

6. Na tablicy napisana jest trójka liczb. Ruch polega na wybraniu jednej z nich i zast _{}apieniu jej sum _{}a tej liczby i róźnicy dwóch pozostałych pomnożonej przez dowoln _{}a liczb_{}e wymiern _{}a. Rostrzygn _{}ać, czy startuj _{}ac od trójki 0, 1, \sqrt{2} przy pomocy takich ruchów możemy otrzymać trójk_{}e (nieuporz _{}adkowan _{}a) 0, \sqrt{2}, 2.

7. Dowieść, że kwadratowej szachownicy 43 × 43 z wyci_{}etym środkowym polem nie da si_{}e podzielić na prostok _{}aty 1 × 6.

8. Na ile sposobów da si_{}e podzielić liczby ze zbioru {1, 2, …, 1995} na trzy niepuste podzbiory, z których żaden nie zawiera dwóch kolejnych liczb całkowitych?