Siłowa trygonometria

• A,B,C - wierzchołki trójk _{}ata

• a,b,c - boki trójk _{}ata naprzeciw odpowiednich wierzćhołkow

• α,β,γ - k _{}aty przy odpowiednich wierzchołkach

• r,R - promienie okr_{}egów wpisanego i opisanego

1. W trójk _{}acie ABC punkty K,L,M s _{}a punktami styczności okr_{}egu wpisanego weń z bokami. Pokaźać, że zachodzi:

\frac{[ABC]}{[KLM]} = \frac{2R}{r}

2. W trójk _{}acie ABC dwusieczna k _{}ata ∠A przecina okr _{}ag opisany w punkcie D. Niech E i F b_{}ed _{}a rzutami B i C odpowiednio na prost _{}a AD. Pokazać, że:

AD BE + CF

3 (tryg. Ceva). Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC obrano punkt P. Proste P A,P B,P C dziel _{}a k _{}aty α,β,γ na k _{}aty α_{1},α_{2},β_{1},β_{2},γ_{1},γ_{2} oznaczone zgodnie z ustalon _{}a orientacj _{}a. Pokazać, że zachodzi:

\frac{sinα_{1}}{sinα_{2}} · \frac{sinβ_{1}}{sinβ_{2}} · \frac{sinγ_{1}}{sinγ_{2}} = 1

4. Dany jest trójk _{}at ABC w którym ∠A jest rozwarty oraz ∠B = 2(∠A− \frac{π}{2}). Na dwusiecznej k _{}ata B obrano punkt D by ∠DAB = ∠B. Punkt M jest środkiem odcinka AB. Pokazać, że C,D,M s _{}a współliniowe.

5. Pokazać, że P = \frac{abc}{4R}.

6. Niech a,b,c b_{}ed _{}a liczbami rzeczywistymi dodatnimi. Pokazać, że:

(a^{2} + ac + c^{2})^{\frac{1}{2}} (a^{2} − ab + b^{2})^{\frac{1}{2}} + (b^{2} − bc + c^{2})^{\frac{1}{2}}

7. W równoległoboku ABCD do boków AB i AD dobudowano dwa podobne trójk _{}aty równoramienne ABP i ADQ, by wierzchołki B i D leżały mi_{}edzy równymi ramionami. Pokazać, że trójk _{}at P CQ jest podobny do dobudowanych trójk _{}atów.

8. Wyznaczyć wszystkie wartości wyrażenia 5ab+3bc+4ac dla liczb rzeczywistych dodatnich a,b,c spełniaj _{}acych równości:

\{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} = 9 \\ 5a^{2} + 5c^{2} + 6ac = 80 \\ 5b^{2} + 5c^{2} + 8bc = 125 \end{matrix}