Norweska olimpiada

1. Dany jest czworok _{}at wypukły ABCD, zaś K,L,M,N s _{}a środkami boków AB,BC,CD i DA odpowiednio. Odcinki KM i LN przecinaj _{}a si_{}e w S. Pokazać, że:

[AKSN] + [CMSL] = [BLSK] + [DNSM]

2. W okr_{}egu o wybrano średnic_{}e AB oraz punkt C różny od A i od B. Styczna do okr_{}egu w punkcie C przecina przedłużenie AB w punkcie D. Pokazać, że dwusieczna k _{}ata CDA odcina z k _{}ata ACB trójk _{}at równoramienny.

3. Niech A,B,C b_{}ed _{}a takimi punktami na okr_{}egu o, że AB=AC. Na boku BC obrano punkt E, zaś F jest przeci_{}eciem prostej AE z okr_{}egiem. Pokazać, że iloczyn AE · AF nie zależy od wyboru punktu E.

4. Znaleźć wszystkie p,q,r pierwsze i n naturalne, że zachodzi:

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = \frac{1}{n}

5. O funkcji f, ze zbioru całkowitych dodatnich w rzeczywiste wiemy, że f(1) = 1 i f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) = n^{2} · f(n). Ile jest równe f(1995)?

6. Dwudziestu ludzi wysyłało do siebie listy, przy czym wiadomo, że każdy wysłał listy do dokładnie dziesi_{}eciu innych. Pokazać, że istnieje para, która wysłała listy do siebie wzajemnie.

7. Pokazać, że jeśli x_{1}, x_{2}, …, x_{1994} s _{}a liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to zachodzi nierówność:

(\frac{x_{1}}{x_{2}})^{\frac{x_{1}}{x_{2}}} (\frac{x_{2}}{x_{3}})^{\frac{x_{2}}{x_{3}}} …(\frac{x_{1993}}{x_{1994}} )^{\frac{x_{1993}}{x_{1994}}} (\frac{x_{1}}{x_{2}})^{\frac{x_{2}}{x_{1}}} (\frac{x_{2}}{x_{3}})^{\frac{x_{3}}{x_{2}}} …(\frac{x_{1993}}{x_{1994}} )^{\frac{x_{1994}}{x_{1993}}}

8. Roztrzygn _{}ać, czy istnieje taka funkcja f(x) z całkowitych w całkowite, by dla każdego x całkowitego zachodziło f(f(x)) = x + 1.

9. Dla wielomianu P (x) o współczynnikach całkowitych wiadomo, że istniej _{}a takie różne a i b, że P (a) = b i P (b) = a. Pokazać, że równanie P (x) = x może miec co najwyżej jedno roźwi _{}azanie całkowite.