Kółko z nierówności z nierównościami trójk _{}ata

1. Pokazać, że dla a,b,c boków trójk _{}ata zachodzi nierówność:

\frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c} + \frac{c}{a + b} 2

2. Pokazać, że dla a,b,c boków trójk _{}ata zachodzi nierówność:

\frac{1}{a + b − c} + \frac{1}{a + c − b} + \frac{1}{b + c − a} \frac{9}{a + b + c}

3. Pokazać, że dla a,b,c rzeczywistych dodatnich:

ab + bc + ac 3((a + b − c)(b + c − a)(a + c − b))^{\frac{2}{3}}

4. Dany jest trójk _{}at o polu P i obwodzie l. Pokazać, że zachodzi:

l^{2} > 16P

5. Pokazać, że jeśli trójk _{}at o bokach a,b,c i obwodzie l wpisany jest w okr _{}ag o promieniu R i opisany na okr_{}egu o promieniu r, to zachodzi równość:

2rR = \frac{abc}{l}

6. Pokazać, że jeśli okr_{}egi wpisany i opisany na trójk _{}acie maj _{}a promienie odpowiednio r i R, to zachodzi:

2r R

7. Dany jest trójk _{}at o bokach a,b,c i obwodzie l. Pokazać, że zachodzi:

\frac{1}{5832}l^{6} abc(a + b − c)(b + c − a)(a + c − b)