Kółko z podstaw nierówności

grupa twardsza

1. Pokazać ze dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} zachodzi:

a + b + c + d \frac{15}{2^{\frac{34}{15}}} \sqrt[15]{ab^{2}c^{4}d^{8}}

2. Niech n ∈ ℤ^{+} . Niech x_{i}, p_{i}, q_{i} b_{}ed _{}a takimi ci _{}agami długości n, że x_{i} ∈ ℝ^{+} , p_{i} ∈ ℝ, q_{i} ∈ ℝ, ∑ _{j=1}^{n} p_{j} = ∑ _{j=1}^{n} q_{j}. Pokazać, że wówczas:

∑_{i=1}^{n} \frac{x_{i+1}^{p_{1}} x_{i+2}^{p_{2}} … x_{i+n}^{p_{n}}}{x_{i+1}^{q_{1}} x_{i+2}^{q_{2}} … x_{i+n}^{q_{n}}} n

gdzie wyrazy x_{i} s _{}a indeksowane cyklicznie.

3. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c ∈ ℝ^{+} zachodzi:

a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2a + 2b + 2c 3((ab)^{\frac{2}{3}} + (bc)^{\frac{2}{3}} + (ca)^{\frac{2}{3}})

4. Niech x ∈ ℝ^{+} oraz k ∈ ℤ^{+} . Wykazać, że wówczas:

2^{k} + x − 2 2^{\frac{k−1}{2}} x^{\frac{1}{k}} k

5. Dany jest czworościan ABCD, taki, że ∠ ADB = ∠ BDC = ∠ CDA = 90^{∘}. Pokazać, że jeśli l to obwód trójk _{}ata ABC to zachodzi:

l \sqrt{2}(AD + BD + CD)

6. Pokazać, że dla x, y, z ∈ ℝ^{+} takich, że x + y + z = 1, zachodzi:

\frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1} \frac{3}{4}

7. Liczby x, y, z ∈ ℝ^{+} spełniaj _{}a warunek:

(x + y + z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) < 10

Pokazać, że z odcinków o długościach x, y, z da si_{}e zbudować trójk _{}at.

8. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c ∈ ℝ zachodzi:

\sqrt{2(a^{2} + b^{2})} + \sqrt{2(b^{2} + c^{2})} + \sqrt{2(c^{2} + a^{2})} \sqrt{3(a + b)^{2} + 3(b + c)^{2} + 3(c + a)^{2}}