Krótkie przypomnienie z geometrii

8 stycznia 2004

1. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w S. Proste k i l przechodz _{}a przez S i przecinaj _{}a okr _{}ag ω_{1} odpowiednio w A i B, zaś ω_{2} odpowiednio w C i D. Proste AD i BC przecinaj _{}a si_{}e w E. Wykaż, że prosta ES przechodzi przez środek odcinka CD.

2. Dany jest trójk _{}at ABC. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} przechodz _{}a przez punkty B i C oraz przecinaj _{}a boki: AB odpowiednio w D i E, zaś AC odpowiednio w F i G. Wykaż, że jeśli punkty D, E, F, G leż _{}a na jednym okr_{}egu, to ABC jest równoramienny.

3. Na trójk _{}acie rozwartok _{}atnym różnobocznym ABC (k _{}at A jest rozwarty) opisano okr _{}ag o środku w O. Punkt S jest takim punktem na półprostej OA nie należ _{}acym do odcinka OA, że k _{}aty OSB i OSC s _{}a równe. Wykaż, że też k _{}aty ABC i ABS s _{}a równe.

4. W trójk _{}acie ABC prosta k jest równoległa do boku AC i przechodzi przez wierzchołek B. Okr _{}ag styczny do prostej k w punkcie B i przechodz _{}acy przez wierzchołek C przecina bok AB w punkcie D. Punkt E leży na półprostej \overrightarrow{CD} i spełnia równanie \frac{CE}{BE} = \frac{AC}{AD}. Udowodnij, że jeżeli okr _{}ag opisany na △BDE jest styczny do BC, to |∡ACB| = 2|∡CAB|.

5. Okr _{}ag o środku O wpisany w czworok _{}at wypukły ABCD jest styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N, przy czym proste KL i MN przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Udowodnij, że proste BD i OS s _{}a prostopadłe.