Kilka zadań z geometrii przestrzennej

środa, 7 kwietnia 2004

Troch_{}e zadań ideologicznych I1. Czy czworościan może mieć trzy osie symetrii i nie być foremnym?

I2. Czy istnieje czworościan V_{2} zawarty w czworościanie V_{1}, że pole powierzchni całkowitej V_{2} jest wi_{}eksze od pola powierzchni całkowitej V_{1}?

I3. Przeci _{}ać czworościan foremny płaskim ci_{}eciem na dwa wielościany przystaj _{}ace. Na ile sposobów można to zrobić?

I4. Dany jest czworościan ABCD. Wykazać równoważność:

1. Naprzeciwległe kraw_{}edzie czworościanu maj _{}a równ _{}a długość.

2. Ściany s _{}a przystaj _{}ace.

3. Ściany maj _{}a równe pola.

4. Wszystkie 3 odcinki l _{}aćz _{}ace środki naprzeciwległych kraw_{}edzi s _{}a prostopadłe do tych kraw_{}edzi.

5. Dwa spośrod odcinków l _{}aćz _{}acych środki naprzeciwległych kraw_{}edzi s _{}a prostopadłe do tych kraw_{}edzi.

I5. Dany jest czworościan ABCD. Wykazać równoważność:

1. Naprzeciwległe kraw_{}edzie czworościanu s _{}a prostopadłe.

2. Suma kwadratów długości naprzeciwległych kraw_{}edzi czworościanu jest równa.

3. Istnieje przeci_{}ecie wysokości tego czworościanu.

Zadania prostsze Z1. Czworościan ABXY jest opisany na sferze. Punkty A i B s _{}a ustalone, punkty X i Y

si_{}e poruszaj _{}a. Udowodnij, że suma k _{}atów w krzywym czworok _{}acie AXBY jest stała.

Z2. W czworościanie ABCD zachodz _{}a nast_{}epuj _{}ace równości: ∡BAC = ∡ACD i ∡ABD = ∡BDC. Dowieść, że kraw_{}edzie AB i CD maj _{}a jednakow _{}a długość.

Z3. Podstaw _{}a ostrosłupa jest równoległobok ABCD, S jest jego wierzchołkiem, punkt A spodkiem wysokości. Okr_{}egi wpisane w ściany SBC i SDC s _{}a styczne. Wykazać, że podstaw _{}a tego ostrosłupa jest romb.

Z4. Prowadzimy w czworościanie cztery proste l _{}acz _{}ace odpowiednio jego wierzchołki ze środkami okr_{}egów wpisanych w przeciwległe ściany. Wykazać, że jeśli dwie spośród tych prostych przecinaj _{}a si_{}e, to i dwie pozostałe przecinaj _{}a si_{}e.

Dwa zadania z poprzedniego kółka

P1. Punkt O jest środkiem okr_{}egu opisanego na podstawie ABC czworościanu ABCD. Sfera o środku w O i promieniu OA przecina kraw_{}edzie AD, BD, CD odpowiednio w punktach A′, B′, C′. Udowodnij, że ta sfera jest prostopadła do sfery opisanej na czworościanie A′B′C′D.

P2. W pewnym czworościanie sfera wpisana jest styczna na jednej ścianie w środku ci_{}eżkości, na drugiej w ortocentrum, a na trzeciej w środku okr_{}egu wpisanego. Wykaż, że to musi być czworościan foremny.

Trzy zadania z kombinatoryki dla odmiany

K1. Gracze maluj _{}a na przemian wierzchołki sześcianu, każdy ma swój kolor i w ruchu maluje trzy wierzchołki. Gracz pierwszy wygrywa, jeśli pomaluje cał _{}a jedn _{}a ścian_{}e na swój kolor, w przeciwnym razie wygrywa gracz drugi. Kto ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a.

K2. Dany jest wielościan wypukły, którego każda ściana jest trójk _{}atem. Udowodnij, że da si_{}e tak pomalować jego kraw_{}edzie na czerwono lub niebiesko, że dla każdego wierzchołka można dojść do każdego innego poruszaj _{}ac si_{}e wył _{}acznie po czerwonych oraz wył _{}acznie po niebieskich kraw_{}edziach.

K3. Czy sześcian można podzielić na różne sześciany w liczbie wi_{}ekszej niż jeden sześcian?