Kilka zadań z geometrii

czwartek, 30 października 2003

1. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Prosta l przechodz _{}aca przez punkt A przecina te okr_{}egi jeszcze odpowiednio w punktach C i D. Punkty M i N s _{}a środkami łuków BC i BD niezawieraj _{}acych A. Wykaż, że |∡MKN| = 90^{∘}.

2. Niech A_{1}, B_{1}, C_{1} b_{}ed _{}a punktami styczności okr_{}egu ω wpisanego w trójk _{}at ABC z odpowiednio bokami BC, AC i AB. Niech K b_{}edzie takim punktem na okr_{}egu ω, że odcinek C_{1}K jest średnic _{}a ω, zaś punkt D b_{}edzie przeci_{}eciem prostych A_{1}K i B_{1}C_{1}. Wykaż, że |CD| = |CB_{1}|.

3. Dany jest okr _{}ag Ω opisany na trójk _{}acie ABC. Punkty A_{0} i B_{0} s _{}a środkami łuków odpowiednio BC i AC nie zawieraj _{}acych punktów odpowiednio A i B. Niech S_{A} i S_{B} b_{}e”da okr_{}egami stycznymi do odpowiednio BC i AC oraz o środkach w punktach A_{0} i B_{0}. Wykaż, że środek okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC leży na wspólnej stycznej S_{A} i S_{B}.

4. Niech A_{1}, B_{1}, C_{1} b_{}ed _{}a punktami styczności okr_{}egu ω wpisanego w trójk _{}at ABC z odpowiednio bokami BC, AC i AB. Dla każdych dwóch trójk _{}atów AB_{1}C_{1}, BA_{1}C_{1} i CA_{1}B_{1} narysujmy współn _{}a styczn _{}a zewn_{}etrzn _{}a okr_{}egów wpisanych w te trójk _{}aty różn _{}a od boków trójk _{}ata. Wykaż, że te styczne maj _{}a punkt wspólny.

5. Dany jest wielościan wypukły opisany na sferze S. Superścian _{}a takiego wielościanu nazywamy tak _{}a ścian_{}e F, że rzut prostopadły sfery S na płaszczyzn_{}e zawieraj _{}ac _{}a F zawiera si_{}e całkowicie w ścianie F. Ile maksymalnie superścian może mieć ten wielościan?

6. Czy istnieje wielościan wypukły, którego żadne trzy kraw_{}edzie nie mog _{}a być bokami trójk _{}ata?

7. Przez wierzchołek A czworościanu ABCD poprowadzono płaszczyzn_{}e P styczn _{}a do sfery opisanej na ABCD. Wykaż, że proste b_{}ed _{}ace przeci_{}eciami płaśzczyzn ABC, ABD i ACD z płaszczyzn _{}a P tworz _{}a sześć równych k _{}atów wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi warunek:

|AB| · |CD| = |AC| · |BD| = |AD| · |BC|.