Nierówności i nie tylko

pi _{}atek, 29 października 2004

21. Punkt K leży na boku DF trójk _{}ata DEF. Niech R b_{}edzie takim punktem, że półprosta F E jest dwusieczn _{}a k _{}ata DF R oraz

RF · KD = KE^{2} + KD · KF.

Dowieść, że ∡F RE = ∡DEK.

22. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach C i D. Okr_{}egi te leż _{}a wewn _{}atrz okr_{}egu Ω i s _{}a do niego styczne odpowiednio w punktach A i B. Wspólna styczna do okr_{}egów ω_{1} i ω_{2} jest styczna do nich odpowiednio w punktach E i F. Udowodnić, że proste AE, CD, BF przecinaj _{}a si_{}e w punkcie leż _{}acym na okr_{}egu Ω.

23. Sfera s jest styczna do kraw_{}edzi AB, BC, CD i DA czworościanu ABCD. Wykazać, że punkty styczności leż _{}a na jednej płaszczyźnie.

24. Okr_{}egi ω_{1}, ω_{2} i ω_{3} s _{}a parami styczne zewn_{}etrznie odpowiednio w punktach: ω_{1} i ω_{2} w A, ω_{1} i ω_{3} w B i ω_{2} z ω_{3} w C. Proste AB i AC przecinaj _{}a okr _{}ag ω_{3} jeszcze w punktach odpowiednio D i E. Prosta DC przecina okr _{}ag ω_{2} w punktach C i F, prosta EB przecina okr _{}ag ω_{1} w punktach B i G. Wykazać, że punktych A, F i G s _{}a współliniowe.

25. W czworościanie ABCD dany jest punkt P. Proste AP, BP, CP i DP przecinaj _{}a przeciwległe ściany czworościanu odpowiednio w punktach K, L, M, N. Wykazać, że

\frac{AP}{P K} + \frac{BP}{P L} + \frac{CP}{P M} + \frac{DP}{P N} 12.

26. W czworościanie foremnym ABCD o boku 1 dany jest punkt P. Wykazać, że

AP + BP + CP + DP 3.

27. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem równobocznym, zaś P punktem w jego wn_{}etrzu. Proste AP, BP, CP przecinaj _{}a boki BC, AC i AB w punktach D, E, F. Udowodnić, że

DE · EF · F D DB · EC · F A.

28. W trójk _{}acie ABC niech I b_{}edzie środkiem okregu wpisanego, zaś punkty D, E, F b_{}ed _{}a przecieciami dwusiecznych k _{}atów A, B, C trójk _{}ata ABC z przeciwległymi bokami. Udowodnić, że

\frac{1}{4} < \frac{AI}{AD} · \frac{BI}{BE} · \frac{CI}{CF} \frac{8}{27}.

29. Różne punkty A, B, C leż _{}a na prostej k, a punkt P do prostej k nie należy. Punkty Q, R, S s _{}a środkami okr_{}egów opisanych na trójk _{}atach P AB, P BC, P CA. Wykazać, że punkty P, Q, R, S leż _{}a na jednym okr_{}egu.