Jakieśtam geometryje

28 kwietnia 2005

121. Wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC leży punkt X spełniaj _{}acy ∡XAB = ∡XCA oraz ∡XBA = ∡XAC. Wykazać, że na środkach boków AB i AC oraz na punktach X i A da si_{}e opisać okr _{}ag.

122. Na boku BC trójk _{}ata równobocznego ABC dane s _{}a punkty M i N (M jest bliżej B niż N) tak, że BM^{2} + CN^{2} = MN^{2}. Wykaż, że ∡MAN = 45^{∘}.

123. Dany jest kwadrat ABCD. Na bokach BA i BC obrano punkty P i Q takie, że BP = BQ. Punkt H jest rzutem prostok _{}atnym punktu B na prost _{}a P C. Wykazać, że HQ ⊥ HD.

124. Wykaż, że w trójk _{}acie o polu 1 i bokach a b c zachodzi b^{2} 2.

125. Proste OA i OB s _{}a styczne do okr_{}egu ω w punktach A i B. Prosta przechodz _{}aca przez A równoległa do prostej OC przecina okr _{}ag ω w punkcie C. Prosta OC przecina okr _{}ag w punkcie E. Wykazać, że prosta AE przecina odcinek OB w połowie.