Klasóweczka

pi _{}atek, 26 listopada 2004

41. Wykazać, że równanie

x^{x} = y^{3} + z^{3}

ma nieskończenie wiele rozwi _{}azań w liczbach całkowitych dodatnich x, y, z.

42. Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n prawdziwa jest równość

∑_{k=0}^{n} (−1)^{n−k} \binom{n}{k} \binom{n}{2k} = ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k}\binom{n}{k} \binom{2n}{k} .

43. W pewnej grupie kn osób każda osoba zna wi_{}ecej niż (k − 1)n innych (k, n s _{}a liczbami naturalnymi). Wykazać, że można z tej grupy wybrać k + 1 osób, z których każde dwie si_{}e znaj _{}a.

44. W trójk _{}at ABC wpisano okr _{}ag o środku I, który jest styczny do boków AB, BC i CA odpowiednio w punktach M, N i K. Środkowa trójk _{}ata ABC wypuszczona z wierzchołka B przecina prost _{}a MN w punkcie D. Wykazać, że punkty D, I i K s _{}a współliniowe.

45. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie a, b, c spełniaj _{}ace zależności

a + b = NW D(a, b)^{2}, c + b = NW D(c, b)^{2}, a + c = NW D(a, c)^{2}.