Kółko gwiazdkowe. Wielomiany i nie tylko.

pi _{}atek, 17 grudnia 2004

61. Wielomian w(x) stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych przyjmuje dla argumentów całkowitych wartości b_{}ed _{}ace kwadratami liczb całkowitych. Wykazać, że wielomian w(x) jest kwadratem pewnego wielomianu.

62. Stopień wielomianu P (x) o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdego x zachodzi równość:

P (x^{2} − 1) = P (x)^{2} − 1.

Wykazać, że dla każdego x zachodzi P (x) = x.

63. Wyznaczyć wszystkie rozwi _{}azania w liczbach rzeczywistych x, y, z układu równań

\{ \begin{matrix}3(x^{2} + y^{2} + z^{2}) = 1 \\ x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + z^{2}x^{2} = xyz(x + y + z)^{3}. \end{matrix} .

64. Udowodnić, że jeśli k jest dodatni _{}a liczb _{}a całkowit _{}a i k > 3, to dla każdego wielomianu o współczynnikach całkowitych W (x) takiego, że dla każdego c ∈ {0, 1, …, k + 1} zachodzi 0 W (c) k, musi być w(0) = W (1) = … = W (k + 1).

65. Rozwi _{}azać w liczbach dodatnich układ równań

\{ \begin{matrix}xy + yz + zx = 12 \\ x + y + z + 2 = xyz \end{matrix} .

66. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem takim, że dla każdego x 0 zachodzi P (x) > 0. Wykazać, że istnieje takie naturalne n, że wielomian P (x)(1+x)^{n} ma nieujemne współczynniki.

67. Dana jest liczba całkowita dodatnia k. Wykazać, że istnieje ci _{}ag liczb całkowitych a_{1} < a_{2} < a_{3} < … taki, że a_{1} = k i dla każdego naturalnego n zachodzi

a_{1} + a_{2} + … + a_{n} | a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + … + a_{n}^{2}.