Nietrudna kombinatoryka

17 marca 2005

110. Liczby całkowite dodatnie x i y spełniaj _{}a równanie

3x^{2} + x = 4y^{2} + y.

Wykaż, że x − y jest kwadratem liczby całkowitej.

111. W punktach kratowych (x, y), 1 x, y 100, posadzono drzewa. Ile maksymalnie drzew można wyci _{}ać, aby stoj _{}ac w miejscu każdego wyci_{}etego drzewa, nie było widać żadnych innych ubytków w lesie?

112. Na płaszczyźnie danych jest n > 1 różnych punktów. Malujemy na różowo środek każdego odcinka o końcach w danych punktach. Ile może być minimalnie różowych punktów?

113. 1994 dziewczynek gra w gr_{}e. Siedz _{}a one przy okr _{}agłym stoliku, na pocz _{}atku jedna z nich ma n kart, reszta nie ma żadnej karty. W danym ruchu, jedna z dziewczynek, co ma przynajmniej dwie karty, daje po karcie s _{}asiadkom. Wykazać, że gra si_{}e skończy wtedy i tylko wtedy gdy n < 1994.

114. Szachownic_{}e n × n pokrywamy białymi i czarnymi trójk _{}atami prostok _{}atnymi równoramiennymi o przyprostok _{}atnych równych 1 (każde pole dwoma tr _{}ajk _{}atami). Trójk _{}aty maj _{}ace wspólny bok maj _{}a mieć różny kolor. Ile jest różnych ułoże”m trójk _{}atów?

115. Klocek to sześcianik 2 × 2 × 2 z usuni_{}etym jednym sześcianikiem o boku 1. Dany jest sześcian o boku 2^{n} z usuni_{}etym jednym sześcianikiem o boku 1. Wykazać, że można go wypełnić klockami.

116. Szachownic_{}e 7 × 7 pokrywamy klockami 3 × 1 i jednym klockiem 1 × 1. Wykazać, że klocek 1 × 1 stoi na środku szachownicy b _{}adź przy którymś boku.

117. Danych jest 2n − 1 liczb całkowitych. Wykazać, że istnieje pobzbiór n z nich, którego suma jest podzielna przez n.