Meksykańska geometria

pi _{}atek, 14 stycznia 2005

81. Dany jest czworok _{}at wypukły ABCD, w którym AC ⊥ BD. Punkty M, N, P, R s _{}a środkami odpowiednio boków AB, BC, CD i DA. Punkty W, X, Y, Z s _{}a rzutami punktów M, N, P, R na odpowiednio boki CD, DA, AB, BC. Wykazać, że punkty M, N, P, R, W, X, Y, Z leż _{}a na jednym okr_{}egu.

82. Rozważmy równoległobok ABCD. Punkt E jest takim punktem, że BE = BC i B leży na odcinku AE. Prosta przechodz _{}aca przez punkt C prostopadła do BD przecina prost _{}a przechodz _{}ac _{}a przez E prostopadł _{}a do AB w F. Wykazać, że ∡BAF = ∡DAF.

83. Wszystkie k _{}aty ścian przy wierzchołku A czworościanu ABCD s _{}a proste. Punkty X, Y i Z s _{}a środkami kraw_{}edzi BC, CD i DB. Wykazać, że czworościan AXY Z ma równe pola ścian.

84. Rozważmy równoległobok ABCD. Okr _{}ag ω jest opisany na trójk _{}acie ABD. Przecina on proste BC i CD odpowiednio w punktach E i F. Wykazać, że środek okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie CEF leży na okr_{}egu ω.

85. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Punkt P jest przeci_{}eciem jego przek _{}atnych, a M środkiem boku CD. Okr _{}ag przechodz _{}acy przez punkt P, styczny do CD w M przecina proste BD i AC w punktach Q i R odpowiednio (poza P). Punkt S jest takim punktem na przek _{}atnej BD, że BS = DQ, punkt T takim punktem na AC, że AT = RC. Wykazać, że ST ∥AB.

86. W trójk _{}acie ABC zachodzi: AB < AC i ∡BAC = 2∡ACB. Punkt D jest takim punktem boku AC, że CD = AB. Punkty M i N s _{}a przeci_{}eciamy prostej przechodz _{}acej przez B równoległej do AC z odpowiednio dwusieczn _{}a zewn_{}etrzn _{}a k _{}ata BAC i prost _{}a przechodz _{}ac _{}a przez C równoległ _{}a do AB. Wykazać, że MD = ND.

87. W trójk _{}acie ABC k _{}at B jest rozwarty. Punkt F jest takim magicznym punktem boku AC, że AF = BF i ∡F BC = \frac{π}{2}. Punkty D i E s _{}a środkami odpowiednio boków AB i BC. Prosta przechodz _{}aca przez F równoległa do boku AB przecina prost _{}a DE w punkcie G. Wykazać, że ∡GCB = ∡ACD.