Trzy trudniejsze geometryje

12 maja 2005

131. Wykaż, że środki okr_{}egów wpisanych w sześć trójk _{}atów, na jaki dziel _{}a trójk _{}at ostrok _{}atny jego środkowe, leż _{}a na jednym okr_{}egu.

132. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym AC = BC. Punkt P leży wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC, przy czym ∡P AB = ∡P BC. Punkt M jest środkiem boku AB. Wykaż, że

∡AP M + ∡BP C = 180^{∘}.

133. Niech D b_{}edzie wewn_{}etrznym punktem boku BC trójk _{}ata ABC. Prosta AD przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC w X. Niech P i Q b_{}ed _{}a rzutami X na proste AB i AC odpowiednio. Udowodnij, że prosta P Q jest styczna do okr_{}egu o średnicy XD wtedy i tylko wtedy gdy AB = AC.