Druga klasóweczka

środa, 12 lutego 2003

11. Udowodnij, że jeśli W (x) jest wielomianem o współczynnikach całkowitych i |W (3)| = |W (7)| = 1, to W (x) nie ma pierwiastków całkowitych.

12. Znajdź wszystkie wielomiany P (x) spełniaj _{}ace dla każdego x ∈ ℝ warunek

P (x^{2}) = (P (x))^{2}.

13. Dane s _{}a liczby całkowite a_{1}, a_{2}, …, a_{11}. Udowodnij, że istnieje taki niezerowy ci _{}ag (x_{1}, x_{2}, …, x_{11}) o wyrazach ze zbioru {−1, 0, 1}, że liczba x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+…+x_{11}a_{11} jest podzielna przez 2003.

14. Rozstrzygnij, czy każd _{}a liczb_{}e wymiern _{}a dodatni _{}a można przedstawić w postaci

\frac{a^{2} + b^{3}}{c^{5} + d^{7}} ,

gdzie a, b, c, d s _{}a liczbami całkowitymi dodatnimi.

15. Dwusieczna k _{}ata BAC trójk _{}ata ABC przecina okr _{}ag opisany na tym trójk _{}acie w punkcie D różnym od A. Punkty K i L to rzuty odpowiednio punktów B i C na prost _{}a AD. Udowodnij, że

AD ≥ BK + CL.