Zadania drugoetapopodobne

pi _{}atek, 11 luty 2005

101. Wykazać, że dla dowolnego całkowitego dodatniego n istnieje liczba całkowita dodatnia x podzielna przez 5^{n} o n cyfrach w zapisie dziesi_{}etnym, w którym wszystkie cyfry s _{}a nieparzyste.

102. Dany jest ci _{}ag S_{1} liczb całkowitych nieujemnych a_{0}, a_{1}, …, a_{n} spełniaj _{}acy a_{i} i dla każdego 0 i n. Ci _{}ag S_{k+1} otrzymujemy z ci _{}agu S_{k} w sposób nast_{}epuj _{}acy: i-ty wyraz ci _{}agu S_{k+1} jest równy liczbie wyrazów o indeksie mniejszym niż i w ci _{}agu S_{k} różnych od wyrazu i-tego w ci _{}agu S_{k}. Wykazać, że S_{n} = S_{n+1} .

103. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z zachodzi nierówność

\frac{(2x + y + z)^{2}}{2x^{2} + (y + z)^{2}} + \frac{(x + 2y + z)^{2}}{2y^{2} + (z + x)^{2}} + \frac{(x + y + 2z)^{2}}{2z^{2} + (x + y)^{2}} 8.

104. W trójk _{}acie ABC punkt D leży na boku AC, a punkt E na boku BC, przy czym na czworok _{}acie ADEB da si_{}e opisać okr _{}ag. Proste DE i AB przecinaj _{}a si_{}e w punkcie F, proste CF i BD w punkcie M. Wykazać, że M jest środkiem odcinka CF wtedy i tylko wtedy, gdy MC^{2} = MB · MD.

105. Dana jest szachownica n×n, niektóre jej pola s _{}a niebieskie, inne czerwone. Każde pole niebieskie ma co najmniej jednego s _{}asiada czerwonego. Z każdego pola czerwonego można si_{}e dostać do każdego innego czerwonego id _{}ac po czerwonych polach. Uznajemy, że pola s _{}asiaduj _{}a tylko bokami. Wykazać, że pól czerwonych jest co najmniej \frac{n^{2}−2}{3} .

106. Dany jest czworok _{}at wpisany w okr _{}ag o bokach a, b, c, d i przek _{}atnych e, f. Wykazać, że

|a − c| + |b − d| 2|e − f|.

107. Joasia i Onufry graj _{}a w gr_{}e na szachownicy 1×2000. Na pocz _{}atku każde pole jest puste. Ruch polega na wpisaniu w kratk_{}e litery S lub O. Kto otrzyma spójny napis SOS, wygrywa. Gdy nie można wykonać już ruchu, nast_{}epuje remis. Wykazać, że Onufry zawsze może wygrać.

108. n > 1 jest liczb _{}a naturaln _{}a, zaś p jest liczb _{}a pierwsz _{}a, przy czym p | n^{3} − 1 i n | p − 1. Wykazać, że liczba 4p − 3 jest kwadratem liczby całkowitej.

109. Dany jest trapez równoramienny ABCD w którym BC∥AD, punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC. Punkt F jest takimi punktem dwusiecznej k _{}ata BDC, że IF ⊥ BC. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie CF D przecina prost _{}a BC w punktach C i E. wykazać, że trójk _{}at DEF jest równoboczny.