Prosta Eulera i okr _{}ag dziewi_{}eciu punktów

pi _{}atek, 8 października 2004

11. W trójk _{}acie ABC niech punkty O i H b_{}ed _{}a odpowiednio: środkiem okr_{}egu opisanego i ortocentrum. Wykazać, że pola dwóch spośród trójk _{}atów AOH, BOH i COH sumuj _{}a si_{}e do pola trzeciego trójk _{}ata

12. W trójk _{}acie ABC niech A_{1} b_{}edzie przeci_{}eciem dwusiecznej wewn_{}etrznej k _{}ata A z okżegiem opisanym na trójk _{}acie ABC. Analogicznie konstruujemy punkty B_{1} i C_{1}. Niech A_{2} b_{}edzie przeci_{}eciem dwusieczny zewn_{}etrznych k _{}atów B i C trójk _{}ata ABC. Analogicznie konstruujemy punkty B_{2} i C_{2}.

(1) Wykazać, że trójk _{}at A_{2}B_{2}C_{2} ma dwa razy wi_{}eksze pole od sześciok _{}ata AC_{1}BA_{1}CB_{1}.

(2) Wykazać, że trójk _{}at A_{2}B_{2}C_{2} ma co najmniej cztery razy wi_{}eksze pole od trójk _{}ata ABC.

13. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC odcinki AD, BE i CF s _{}a wysokościami, punkt H jest ortocentrum, punkty M i N s _{}a środkami odcinków AH i BC odpowienio, zaś proste k i l zawieraj _{}a dwusieczne odpowiednio wewn_{}etrzne i zewn_{}etrzne k _{}ata BAC. Prosta MN przecina proste k i l odpowiednio w punktach K i L.

(1) Wykazać, że proste EF i MN s _{}a prostopadłe.

(2) Wykazać, że AH = KL.

14. W trójk _{}acie ABC odcinki AA_{1}, BB_{1} i CC_{1} s _{}a wysokościami, punkt H jest ortocentrum, zaś punkty A_{2}, B_{2}, C_{2} s _{}a środkami odpowiednio boków BC, AC i AB. Dla prosta HA_{2} przecina okr _{}ag dziewi_{}eciu punktów trójk _{}ata ABC w punktach A_{2} i A_{3}, analogicznie tworzymy punkty B_{3} i C_{3}.

(1) Wykazać, że proste A_{1}A_{3}, B_{1}B_{3} i C_{1}C_{3} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie na prostej Eulera trójk _{}ata ABC.

(2) Wykazać, że proste AA_{3}, BB_{3} i CC_{3} maj _{}a punkt wspólny.