Czeska Olimpiada Matematyczna

pi _{}atek, 7 stycznia 2005

70. (sprzed świ _{}at) Dana jest liczba całkowita k > 1. Wykazać, że istnieje ci _{}ag liczb całkowitych a_{1} < a_{2} < a_{3} < … taki, że a_{1} = k i dla każdego naturalnego n zachodzi

a_{1} + a_{2} + … + a_{n} | a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + … + a_{n}^{2}.

71. Wyznaczyć, dla jakich liczb całkowitych dodatnich n całkowit _{}a jest liczba ∑ _{i=1}^{n} \frac{n}{i!}.

72. Rozwi _{}azać w liczbach rzeczywistych x, y, z nierówność

x^{2} + y^{2} + z^{2} 6 + min\{ x^{2} − \frac{8}{x^{4}}, y^{2} − \frac{8}{y^{4}}, z^{2} − \frac{8}{z^{4}} \} .

73. W Ksi_{}estwie Hofmańskim obowi _{}azuje dwuliterowy alfabet, składaj _{}acy si_{}e tylko z liter P i H. Słowami w tym alfabecie s _{}a wszystkie skończone ci _{}agi liter z alfabetu, nie zawieraj _{}ace podsłowa PPPP oraz HHH. Niech p_{n} oznacza liczb_{}e słów n-literowych. Wyznaczyć wartość wyrażenia

\frac{p_{2004} − p_{2002} − p_{1999}}{p_{2001} + p_{2000}} .

74. Danych jest 121 różnych ci_{}eciw p_{1}, p_{2}, …, p_{121} okr_{}egu ω. Dla każdego i ∈ {1, 2, …, 121} dany jest punkt A_{i} należ _{}acy do ci_{}eciwy p_{i}. Wykazać, że na okr_{}egu istnieje taki punkt X, że dla co najmniej 29 indeksów i k _{}at mi_{}edzy ci_{}eciw _{}a p_{i} a prost _{}a A_{i}X jest niewi_{}ekszy niż 21^{∘}.

75. Niech L b_{}edzie dowolnym punktem krótszego łuku CD okr_{}egu opisanego na kwadracie ABCD. Niech K b_{}edzie przeci_{}eciem prostych AL i CD, zaś M przeci_{}eciem prostych AD i CL. Proste MK i BC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie N. Wykazać, że punkty B, L, M, N leż _{}a na jednym okr_{}egu.

76. Niech ℝ_{+} b_{}edzie zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : ℝ_{+} → ℝ_{+} spełniaj _{}ace dla każdych x, y ∈ ℝ_{+} warunek

x^{2}(f(x) + f(y)) = (x + y)f(f(x)y).

77. Punkt G leży we wn_{}etrzu trójk _{}ata ABC. Proste AG, BG, CG przecinaj _{}a boki BC, CA i AB w punktach D, E i F odpowiednio. W czworok _{}aty AF GE, BDGF i CEGD da si_{}e wpisać okr_{}egi i co wi_{}ecej te okr_{}egi maj _{}a parami wspólne punkty. Wykazać, że trójk _{}at ABC jest równoboczny.

78. Dany jest rozwarty k _{}at AKS. Skonstruować trójk _{}at ABC tak, by S był środkiem boku BC, zaś punkt K był takim punktem boku BC, by AK było dwusieczn _{}a k _{}ata BAC.

79. Udowodnić, że jeśli a, b, c > 0 i abc = 1, to zachodzi nierówność

\frac{a}{b} + \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} a + b + c.