Inne zadanka z geometrii

pi _{}atek, 5 listopada 2004

31. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach M i N. Wspólna styczna bliżej M jest do nich styczna odpowiednio w punktach P i Q. Prosta P N przecina okr _{}ag ω_{2} w punktach N i R. Wykazać, że prosta MQ zawiera dwusieczn _{}a k _{}ata P MR.

32. Okr _{}ag S jest styczny wewn_{}etrznie do okr_{}egu T w A. Z punktu P na T poprowadzono styczne do S, które przecinaj _{}a T w Q i R i s _{}a styczne do S w punktach X i Y. Udowodnić, że k _{}at QAR jest dwukrotnie wi_{}ekszy od k _{}ata XAY.

33. W trójk _{}acie ABC BC > AB. P jest takim punktem wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC, że ∡P AC = ∡BCA s _{}a równe. Punkt Q na zewn _{}atrz trójk _{}ata jest taki, że P Q∥AB i BQ∥AC. R jest takim punktem na BC (po przeciwnej stronie AP niż Q) że ∡P RQ = ∡BCA. Udowodnić, że okr_{}egi opisane na trójk _{}atach ABC i P QR s _{}a styczne.

34. Wypukły czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Symetralne AB i AC przecinaj _{}a prost _{}a AD w punktach W i V, proste CV i BW przecinaj _{}a si_{}e w T. Udowodnić, że

|BT − CT | = AD.

35. W trójk _{}acie ABC k _{}at ∡ABC = 2∡ACB. Punkt D dzieli bok BC w stosunku 2 : 1. E jest takim punktem, że D jest środkiem odcinka AE. Udowodnić, że

2∡ECB = ∡EBC + π.

36. Dwusieczne CE i BD trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie I. Wykazać, że DI = EI wtedy i tylko wtedy, gdy ∡BAC = 90^{∘}.

37. Punkty P, Q i R należ _{}a odpowiednio do boków BC, CA, AB trójk _{}ata ABC. Proste AP, BQ i CR przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. W czworok _{}at P CQS jest wpisany okr _{}ag ω_{1}, a w czworok _{}at P BRS jest wpisany okr _{}ag ω_{2}. Okr _{}ag ω_{1} jest styczny do QS w punkcie E, a okr _{}ag ω_{2} jest styczny do RS w punkcie F. Wykazać, że EQ = F R.

38. Sześciok _{}at wypukły ABCDEF spełnia warunki: AB = BC, CD = DE, EF = F A. Wykazać, że proste zawieraj _{}ace wysokości trójk _{}atów BCD, DEF, F AB, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków C, E, A, przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

39. Niech A_{1}A_{2} …A_{n} b_{}edzie n-k _{}atem wypukłym o równych bokach, zaś Ω okr_{}egiem. Dla i = 1, 2, …, n okr _{}ag Ω przecina bok A_{i}A_{i+1} w punktach B_{i} i C_{i}, przy czym punkt B_{i} leży bliżej A_{i} (przyjmujemy numeracj_{}e modulo n). Wykazać, że

∑_{i=1}^{n} A_{i}B_{i} = ∑_{i=1}^{n} C_{i}A_{i+1} .

310*. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem ostrok _{}atnym, O środkiem okr_{}egu opisanego na nim, a R - promieniem tego okr_{}egu. Prosta AO przecina okr _{}ag opisany na trójk _{}acie BOC w D, analogicznie tworzymy punkty E i F. Udowodnić, że

OD · OE · OF 8R^{3}.