Meksykańskie różności

pi _{}atek, 4 luty 2005

91. Punkty A, B i C leż _{}a na prostej k w tej właśnie kolejności. Okr _{}ag ω_{1} jest okr_{}egiem o średnicy AB, zaś okr _{}ag ω_{2} jest okr_{}egiem o średnicy BC. Okr _{}ag ω, styczny do prostej AC w punkcie B, przecina okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} odpowiednio w punktach P i Q. Prosta P Q przecina okr _{}ag ω_{1} w punktach P i R, zaś okr _{}ag ω_{2} w punktach Q i S. Proste AR i CS przecinaj _{}a si_{}e w punkcie X. Wykazać, że BX ⊥ AC.

92. Joasia i Onufry graj _{}a w nast_{}epuj _{}ac _{}a gr_{}e. Na stole leż _{}a karty, na każdej karcie napisane s _{}a dwie liczby całkowite dodatnie niewi_{}eksze niż 2003, przy czym każda para (a, b) dla 1 a < b 2003 pojawia si_{}e na kartach dokładnie raz (innych par nie ma). Ruch polega na wybraniu karty i zapisaniu iloczynu liczb na niej na tablicy. Kto spowoduje, że NWD liczb na tablicy osi _{}agnie 1, przegrywa. Joasia pierwsza wykonuje ruch. Czy ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a?

93. Joasia bawi si_{}e z liczbami. Maj _{}ac liczb_{}e całkowit _{}a dodatni _{}a n potrafi ona stworzyć liczby 2n + 1 i 3n + 2. Niech S_{n} oznacza zbiór wzystkich liczb, które Joasia moźe otrzymać, maj _{}ac na pocz _{}atku liczb_{}e n. Joasia mówi, że liczby n i m si_{}e przyjaźni _{}a, jeśli S_{n} ∩ S_{m} ≠ ∅. Ile jest liczb mniejszych od 2003 przyjaźni _{}acych si_{}e z 2003?

94. Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie n, dla których liczba n^{2} ma wi_{}ecej dzielników daj _{}acych reszt_{}e 3 przy dzieleniu przez 4 niż tych daj _{}acych reszt_{}e 1.

95. Dana jest szachownica n × n pomalowana w szachownic_{}e. Ruch polega na obraniu prostok _{}ata wi_{}ekszego niż jednostkowy, o takiej samej parzystości obu boków, i zamianie wszystkich kolorów pól zawartych w nim. Dla jakich n da si_{}e za pomoc _{}a takich ruchów doprowadzić do jednokolorowej szachownicy?

96. Dany jest trapez ABCD (AB∥CD). Punkt P jest przeci_{}eciem dwusiecznych zewn_{}etrzych k _{}atów B i C, punkt Q jest przeci_{}eciem dwusiecznych zewn_{}etrznych k _{}atów A i D. Wykazać, że długość odcinka P Q to połowa obwodu trapezu ABCD.

97. Punkty B i C s _{}a takimi różnymi punktami okr_{}egu ω, że proste AB i AC s _{}a styczne do tego okr_{}egu. Punkt Q leży na odcinki AC, prosta BQ przecina okr _{}ag ω w punktach P i B. Punkt J jest takim punktem odcinka BC, że QJ∥AB. Wykazać, że P J∥AC wtedy i tylko wtedy gdy BC^{2} = AC · QC.

98. Każd _{}a przek _{}atn _{}a i bok ośmiok _{}ata pomalowano na jeden z dwóch kolorów. Wykaż, że istnieje co najmniej 7 monokolorowych trójk _{}atów o wierzchołkach w wierzchołkach ośmiok _{}ata.