Jakieś drugie etapy

1. Dane s _{}a liczby naturalne k, n wi_{}eksze od 1, przy czym liczba p = 2k − 1 jest pierwsza. Dowieść, że jeżeli liczba

\binom{n}{2} − \binom{k}{2}

jest podzielna przez p to jest podzielna przez p^{2}.

2. Punkty A, B, C leż _{}a właśnie w tej kolejności na jednej prostej przy czym AB < BC. Punkty D, E s _{}a wierzchołkami kwadratu ABDE. Okr _{}ag o średnicy AC przecina prost _{}a DE w punktach P i Q przy czym punkt P należy do odcinka DE. Proste AQ i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Udowodnić, że DP = DR.

3. Niech n 3 b_{}edzie liczb _{}a naturaln _{}a. Dowieść, że dowolny wielomian postaci

x^{n} + a_{n−3} x^{n−3} + a_{n−4} x^{n−4} + a_{n−5} x^{n−5} + … + a_{1}x + a_{0}

gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych a_{0}, a_{1}, …, a_{n−3} jest różny od zera, ma mniej niż n pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile jego krotność).

4. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n 3, dla których prawdziwe jest nast_{}epuj _{}ace zdanie: W dowolnym n-wyrazowym ci _{}agu arytmetycznym a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, dla którego liczba 1 · a_{1} + 2 · a_{2} + ... + n · a_{n} jest wymierna, istnieje wyraz bed _{}acy liczb _{}a wymiern _{}a.

5. Punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójkat ABC. Prosta AI przecina bok BC w punkcie D. Dowieść, że AI + CD = AC wtedy i tylko wtedy, gdy ∠B = 60^{∘} + \frac{1}{3}∠C.

6. Dla danej liczby całkowitej dodatniej n rozstrzygnać, czy podzbiorów n-elementowych zbioru 1, 2, 3, …, 2n − 1, 2n maj _{}acych sum_{}e elementów parzyst _{}a jest tyle samo, co podzbiorów n-elementowych maj _{}acych nieparzyst _{}a sum_{}e elementów. Jeśli nie, to rozstrzygn _{}ać, których jest wi_{}ecej i o ile.

7. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taki wielomian W o współczynnikach całkowitych, że istniej _{}a różne liczby a, b, c całkowite, że:

W (a) = b, W (b) = c, W (c) = a

8. Dany jest trójk _{}at równoramienny ABC w którym ∠A = 90^{∘}. Niech M b_{}edzie środkiem boku AB. Prosta przechodz _{}aca przez A i prostopadła do prostej CM przecina bok BC w punkcie P. Pokazać, że ∠AMC = ∠BMP.