Wst_{}ep do nierówności

1. Pokazać, że dla każdych x_{1}, x_{2}, …, x_{n} rzeczywistych dodatnich zachodzi:

\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{3}} … + \frac{x_{n}}{x_{1}} n

.

2. Pokazać, że dla a, b, c rzeczywistych dodatnich zachodzi:

(a + b)(b + c)(a + c) 8abc

3. Pokazać, Że dla x, y, z rzeczywistych dodatnich zachodzi:

x^{3} + y^{3} + z^{3} x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x

4. Pokazać, że jeśli a, b, c s _{}a długościami boków trójk _{}ata, to:

(a + b − c)^{2} + (a − b + c)^{2} + (−a + b + c)^{2} ab + bc + ac

5. Pokazać, że jeśli x_{i} - ci _{}ag liczb rzeczywistych dodatnich, to:

∑_{i=1}^{n} x_{i}^{i} + \frac{n(n − 1)}{2} ∑_{i=1}^{n} ix_{i}

6. Pokazać, że jeśli x, y, z rzeczywiste dodatnie, to zachodzi:

\frac{x + y + z}{3} \sqrt{\frac{xy + yz + xz}{3}}

7. Dana jest liczba rzeczywista c > −2. Pokazać, że jeśli x_{i} to ci _{}ag liczb rzeczywistych dodatnich oraz \sqrt{x_{1}^{2} + cx_{1}x_{2} + x_{2}^{2}} + \sqrt{x_{2}^{2} + cx_{2}x_{3} + x_{3}^{2}} + … + \sqrt{x_{n}^{2} + cx_{n}x_{1} + x_{1}^{2}} = \sqrt{c + 2} (x_{1} + x_{2} + … + x_{n}) to c = 2 lub x_{1} = x_{2} = … = x_{n}.

8. Pokazać, że jeśli a, b, c rzeczywiste dodatnie, to zachodzi:

\sqrt{2(a^{2} + b^{2})} + \sqrt{2(b^{2} + c^{2})} + \sqrt{2(a^{2} + c^{2})} \sqrt{3(a + b)^{2} + 3(b + c)^{2} + 3(a + c)^{2}}