K _{}aty w kole

8.10.2008

1. Okr _{}ag przechodz _{}acy przez wierzchołki A i B kwadratu ABCD przecina odcinki BC i BD ponownie w punktach odpowiednio P i Q. Okr _{}ag opisany na CP Q przecina odcinek BQ ponownie w punkcie R. Udowodnić, że punkty A, R, P s _{}a współliniowe.

2. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkt D jest rzutem punktu A na odcinek BC, natomiast punkty E i F - rzutami punktu D odpowiednio na boki AC i AB. Pokazać, że punkty B, C, E i F leż _{}a na jednym okręgu.

3.Punkt D leży na boku AB trójk _{}ata ABC. Okręgi styczne do prostych AC i BC odpowiednio w punktach A i B przechodz _{}a przez punkt D i przecinaj _{}a się po raz drugi w punkcie E. Niech F będzie punktem symetrycznym do C względem symetralnej odcinka AB. Wykazać, że D, E i F leż _{}a na jednej prostej.

4. Niech ABC będzie trójk _{}atem wpisanym w okr _{}ag ω, a K, L, M - środkami łuków BC, CA, AB okręgu ω niezawieraj _{}acymi wierzchołków trójk _{}ata. Pokazać, że ortocentrum trójk _{}ata KLM pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w trójk _{}at ABC.

5. Oznaczmy przez H ortocentrum trójk _{}ata ABC. Pokazać, że okręgi opisane na trójk _{}atach ABH, BCH i CAH s _{}a przystaj _{}ace.

6. Okr _{}ag, którego średnic _{}a jest wysokość trójk _{}ata ABC opuszczona z wierzchołka A, przecina boki AB i AC odpowiednio w D i E. Niech O będzie środkiem okręgu opisanego na ABC. Wykazać, że OA jest prostopadła do DE.

7. Niech AD i BE będ _{}a wysokościami trójk _{}ata ABC, a punkt P - punktem przecięcia prostej DE z niezawieraj _{}acym punktu A łukiem okręgu opisanego na trójk _{}acie ABC. Udowodnić, że dwusieczna k _{}ata BCP odcina z k _{}ata DP B trójk _{}at równoramienny.