Liczenie k _{}atów

1. Pokazać, że odbicie symetryczne orotcetrum trójk _{}ata leży na okr_{}egu opisanym na nim.

2. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem, zaś K, L, M środkami łuków BC, AC, AB okr_{}egu na nim opisanego, nie zawieraj _{}acych przeciwległych wierzchołków. Pokazać, że środek okr_{}egu wpisanego w ABC i ortocentrum KLM si_{}e pokrywaj _{}a.

3. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem, zaś K, L, M środkami łuków BC, AC, AB okr_{}egu na nim opisanego, nie zawieraj _{}acych przeciwległych wierzchołków. Pokazać, że 2[KLM] = [AMBKCL].

4. Niech ABC b_{}edzie trójk _{}atem, zaś K, L, M środkami łuków BC, AC, AB okr_{}egu na nim opisanego, nie zawieraj _{}acych przeciwległych wierzchołków. Pokazać, że 2[ABC] [AMBKCL].

5. W czworok _{}acie wypukłym ABCD zachodz _{}a równości ∠ADB = 2∠ACB oraz ∠BDC = 2∠BAC. Pokazać, że AD = CD.

6. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC odcinek AA′ jest wysokości _{}a, zaś punkty B′ i C′ odpowiednio rzutami punktu A′na boki AC i AB. Pokazać, że na czworok _{}acie BCB′C′da si_{}e opisać okr _{}ag.

7. W okr_{}egu o wybrano średnic_{}e AB oraz punkt C różny od A i od B. Styczna do okr_{}egu w punkcie C przecina przedłużenie AB w punkcie D. Pokazać, że dwusieczna k _{}ata CDA odcina z k _{}ata ACB trójk _{}at równoramienny.

8. Punkty Q i R leż _{}a na okr_{}egu γ. Punkt P jest przeci_{}eciem stycznych do okr_{}egu przechodz _{}acych przez Q i R. Punkt A leży na przedłużeniu P Q bliżej Q niż P. Okr_{}eg opisany na trójk _{}acie AP R przecina okr _{}ag γ w punkcie B, zaś prosta AR przecina γ w C. Pokazać, że ∠P AR = ∠ABC.

9. Punkt D leży na boku AB trójk _{}ata ABC. Okr_{}egi styczne do prostych AC i BC odpowiednio w punktach A i B przechodz _{}a przez punkt D i przecinaj _{}a si_{}e po raz drugi w punkcie E. Niech F b_{}edzie punktem symetrycznym do punktu C wzgl_{}edem symetralnej odcinka AB. Wykazać, że punkty D, E i F leża na jednej prostej.