Kanadyjska olimpiada

1. Niech X b_{}edzie zbiorem liczb całkowitych nieujemnych. Znaleźć wszystkie takie funkcje f : X → X, że dla każdych x, y ∈ X zachodzi yf(x) + xf(y) = (x + y)f(x^{2} + y^{2}).

2. Rozstrzygn _{}ać czy istnieje rozwi _{}azanie układu:

\{ \begin{matrix}x^{3} + y^{3} + z^{3} = x + y + z \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = xyz \end{matrix}

w liczbach dodatnich.

3. Trzy okr_{}egi ω_{1}, ω_{2}, ω_{3} przechodz _{}a przez ustalone punkty A i B. Zmienna prosta k przechodz _{}aca przez punkt A przecina okr_{}egi ω_{1}, ω_{2}, ω_{3} odpowiednio w punktach X, Y, Z tak że punkt X leży mi_{}edzy Y i Z. Pokazać, że stosunek \frac{XY}{XZ} nie zależy od wyboru prostej k.

4. Wierzchołek C trójk _{}ata równocznego ABC leży wewn _{}atrz okr_{}egu o środku w O, przechodz _{}acego przez punkty A i B. Punkt X leży na tym okr_{}egu, jest różny od A i spełnia zależność AB = BX, zaś punkt C leży na ci_{}eciwie XY. Pokazać, że AO = CY.

5. Pokazać, że dla dodatnich x, y, z zachodzi:

x^{x}y^{y}z^{z} (xyz)^{\frac{x+y+z}{3}}

6. Pokazać, że dla n > 0 i k 0 istnieje nieskończenie wiele rozwi _{}azań równania x_{1}^{3} + x_{2}^{3} + … + x_{n}^{3} = y^{3k+2} w liczbach całkowitych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y.

7. Pokazać, że dla x, y, z nieujemnych zachodzi nierówność:

x(x − z)^{2} + y(y − z)^{2} (x − z)(y − z)(x + y − z)