Jednokładność

7.01.2009

1. Dany jest trójk _{}at ABC oraz punkty H – ortocentrum, O – środek okręgu opisanego oraz S – środek ciężkości. Udowodnić, że punkty te leż _{}a na jednej prostej (prosta Eulera) oraz znaleźć stosunek \frac{HO}{HS}.

2. Skonstruować kwadrat, którego dwa s _{}asiednie wierzchołki będ _{}a należały do dwóch różnych boków, a dwa pozostałe wierzchołki – do trzeciego boku danego na płaszczyźnie trójk _{}ata.

3. Punkt P należy do wnętrza czworok _{}ata ABCD. Wykazać, że środki ciężkości trójk _{}atów ABP, BCP, CDP i DAP s _{}a wierzchołkami równoległoboku.

4. Okręgi o_{1} i o_{2} s _{}a wpisane w k _{}at o wierzchołku w P i w k _{}aty wierzchołkowe o wierzchołku w Q. Punkt R należy do okręgu o_{1}, a proste RQ i RP przecinaj _{}a okr _{}ag o_{2} w czterech punktach. Pokazać, że dwa z tych czterech punktów s _{}a końcami jednej średnicy okręgu o_{2}.

5. Ustalone punkty A i B należ _{}a do okręgu o. Znaleźć zbiór środków ciężkości takich trójk _{}atów ABX, że X należy do okręgu o.

6. Okręgi o_{1} i o_{2} s _{}a styczne wewnętrznie w punkcie B. Średnica AC okręgu o_{1} jest styczna do o_{2} w punkcie M. Pokazać, że BM jest dwusieczn _{}a k _{}ata ABC.