KÓŁECZKO Z JEDNOKŁADNOŚCI (14.11.2007)

1. TEORIA 1.1. Definicja - Jednokładność o środku O i skali α to przekształcenie płaszczyzny na płasz-

czyzn_{}e, które przekształca punkt A na taki punkt A′, że O⃗A′= α · O⃗A.

1.2. Jednokładność o skali różnej od 1 ma dokładnie jeden punkt stały - środek jednokładności.

1.3. Jednokładność przekształca dowoln _{}a figur_{}e na figur_{}e do niej podobn _{}a. 1.4. Środek jednokładności, punkt i jego obraz leż _{}a na jednej prostej. 1.5. Jednokładność nie zmienia orientacji. 1.6. Złożenie dwóch jednokładności o środkach O_{1}, O_{2} i skalach α i β jest:

• jeśli α · β = 1 - przesuni_{}eciem o wektor O⃗_{2}O_{1}

• jeśli α · β różne od 1 - jednokładności _{}a o skali α · β i środku leż _{}acym na prostej O_{1}O_{2}

2. ZADANIA 2.1. Dany jest trójk _{}at ABC. Skonstruować kwadrat W XY Z taki, że punkty W, X należ _{}a

do odcinka AB, punkt Y - do odcinka BC, a punkt Z - do odcinka AC.

2.2. Punkt P należy do wn_{}etrza czworok _{}ata wypukłego ABCD. Wykazać, że środki cieżkości trójk _{}atów: ABP, BCP, CDP, DAP s _{}a wierzchołkami równoległoboku.

2.3. Dany jest sześciok _{}at wypukły ABCDEF. Wykazać, że środki ci_{}eżkości trójk _{}atów ABC, BCD, CDE, DEF, EF A, F AB s _{}a wierzchołkami sześciok _{}ata, którego przeciwległe boki s _{}a równe i równoległe.

2.4. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a styczne wewn_{}etrznie w punkcie B. Ci_{}eciwa AC okr_{}egu o_{1} jest styczna do okr_{}egu o_{2} w punkcie M. Wykazać, że BM jest dwusieczn _{}a k _{}ata ABC.

2.5. Dany jest trójk _{}at ABC. W k _{}aty przy wierzchołkach A i B wpisać dwa przystaj _{}ace okr_{}egi styczne zewn_{}etrznie.

2.6. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boku AC w punkcie D. Odcinek DE jest średnic _{}a tego okr_{}egu, a prosta BE przecina bok AC w punkcie F. Wykazać, że AF = CD.

2.7. W trójk _{}acie ABC punkt H jest ortocentrum, O - środkiem okr_{}egu opisanego, a S - środkiem cieżkości. Udowodnić, że punkty H, S, O s _{}a współliniowe oraz HS = 2 · SO.