Kółko z Jensena

1. Pokazać, że dla x, y, z ∈ ℝ^{+} , że x + y + z = 3 zachodzi:

\frac{3x + 2}{x + 1} + \frac{3y + 2}{y + 1} + \frac{3z + 2}{z + 1} \frac{15}{2}

2. Pokazać, że dla x, y, z ∈ ℝ^{+} zachodzi:

x\sqrt{y + z} + y\sqrt{x + z} + z\sqrt{x + y} \sqrt{2(x + y + z)(xy + yz + zx)}

3. Pokazać, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} zachodzi:

\frac{a}{\sqrt[3]{a^{3} + 63bcd}} + \frac{b}{\sqrt[3]{b^{3} + 63acd}} + \frac{c}{\sqrt[3]{c^{3} + 63abd}} + \frac{d}{\sqrt[3]{d^{3} + 63abc}} 1

4. Liczby x, y, z s _{}a nieujemne i sumuj _{}a si_{}e do \frac{π}{2}. Pokazać, że:

1 sinx + siny + sinz \frac{3}{2}

5. Punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC, zaś punkty K, L, M s _{}a odpowiednio przeci_{}eciami dwusiecznych k _{}atów wewn_{}etrznym trójk _{}ata ABC z bokami BC, AC, AB. Pokazać, że:

\frac{AK · BL · CM}{AM · BK · CL} 3\sqrt{3}

6. Pokazać, że jeśli a, b, c s _{}a liczbami dodatnimi sumuj _{}acymi si_{}e do 1, to zachodzi:

\sqrt{(b + c)(2a + b + c)} + \sqrt{(a + c)(a + 2b + c)} + \sqrt{(a + b)(a + b + 2c)} 2\sqrt{2}

7. Pokazać, że jeśli liczby a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{n} s _{}a liczbami dodatnimi sumuj _{}acymi si_{}e do 1 to:

∑_{i=1}^{n} a_{i}^{3} (∑_{i=1}^{n} a_{i}^{2})^{2}

8. Pokazać, że jeśli a, b, c s _{}a liczbami dodatnimi sumuj _{}acymi si_{}e do 1, to zachodzi:

a^{a}b^{b}c^{c} a^{2} + b^{2} + c^{2}