Izometrie

10.12.2008

1. Punkt M leży wewn _{}atrz trójk _{}ata równobocznego ABC, przy czym MA^{2} + MB^{2} = MC^{2}. Znaleźć miarę k _{}ata AMB.

2. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym ∠ACB = 60^{∘} oraz AC < BC. Punkt D leży na boku BC tak, że BD = AC. Punkt E jest symetryczny do A względem punktu C. Udowodnić, że AB = DE.

3. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag oraz punkty K, L, M i N będ _{}ace odpowiednio środkami boków AB, BC, CD, DA. Proste k, l, m, n przechodz _{}a odpowiednio przez punkty K, L, M i N oraz s _{}a prostopadłe odpowiednio do CD, DA, AB, BC. Udowodnić, że proste k, l, m i n s _{}a współpękowe.

4. Dany jest k _{}at wypukły α i punkt A w jego wnętrzu. Znaleźć takie punkty B i C należ _{}ace do różnych ramion k _{}ata α, aby obwód trójk _{}ata ABC był jak najmniejszy.

5. W pięciok _{}acie ABCDE:

BC = CD, DE = EA, ∠BCD = ∠DEA = 90^{∘}.

Udowodnić, że z odcinków o długości AC, CE i EB można zbudować trójk _{}at. Wyznaczyć miary jego k _{}atów, wiedz _{}ac, że ∠ACE = α oraz ∠BEC = β.

6. Wewn _{}atrz k _{}ata wypukłego o wierzchołku w punkcie P leży punkt A. Punkty X i Y leż _{}a na różnych ramionach tego k _{}ata w równej odległości od P tak, że wartość sumy AX + AY jest najmniejsza. Wykazać, że ∠XAP = ∠Y AP.