KÓŁECZKO Z IZOMETRII (25.10.06) - TEORIA

1. Definicja - Izometria (przekształcenie izometryczne) to takie przekształcenie płaszczyzny na t_{}e sam _{}a płaszczyzn_{}e, źe zachowuje odległości.

2. Izometria przekształca dowoln _{}a figur_{}e na figur_{}e do niej przystaj _{}ac _{}a, m.in. zachowuje k _{}aty, współliniowość punktów oraz kolejność punktów na prostej.

3. Wszystkie izometrie dzielimy na:

• przesuni_{}ecie (translacj_{}e)

• obrót

• symetri_{}e środkow _{}a (szczególny przypadek obrotu)

• symetri_{}e osiow _{}a (szczególny przypadek symetrii z poślizgiem)

• symetri_{}e z poślizgiem (złożenie symetrii osiowej i przesuni_{}ecia o wektor równoległy do osi symetrii)

4. Izometrie dzielimy na parzyste i nieparzyste. Nieparzyste zmieniaj _{}a orientacj_{}e figur. Wszystkie izometrie nieparzyste s _{}a pewnymi symetriami z poślizgiem (być może zerowym).

5. Złożenie dwóch izometrii jest zawsze izometri _{}a, m.in:

• R_{A}^{α} ∘ R_{B}^{β} = R_{C}^{α+β} , gdzie C jest takim punktem, że ∠BAC = \frac{α}{2} i ∠ABC = \frac{β}{2} (jeśli α + β = 360^{∘}, otrzymamy przesuni_{}ecie o pewien wektor, dla dwóch symerii środkowych o środkach A, B, b_{}edzie to przesuniecie o wektor 2A⃗B)

• Tu⃗ ∘ Tv⃗ = T_{u⃗+v⃗}

• jeśli k ∥ l, S_{k} ∘ S_{l} = T_{2u⃗}, gdzie u⃗ jest wektorem prostopadłym do k oraz Tu⃗(l) = (k).

• jeśli k ∦ l, to S_{k} ∘ S_{l} = R_{A}^{2α}, gdzie A = k ∩ l oraz α jest k _{}atem pomi_{}edzy prostymi k i l.