KÓŁECZKO Z IZOMETRII (31.10.2007)

1. TEORIA

1.0. Definicja: Izometria (przekształcenie izometryczne) to takie przekształcenie płaszczyzny na t_{}e sam _{}a płaszczyzn_{}e, które zachowuje odległości.

1.1. Izometria przekształca dowoln _{}a figur_{}e na figur_{}e do niej przystaj _{}ac _{}a, m.in. zachowuje k _{}aty, współliniowość punktów oraz kolejność punktów na prostej.

1.2. Wszystkie izometrie dzielimy na:

• przesuni_{}ecie (translacj_{}e) [Tv⃗ - translacja o wektor v⃗]

• obrót [R_{A}^{α} - obrót o k _{}at skierowany α wokół punktu A] (szczególny przypadek to symetria środkowa [S_{A} - symetria środkowa o środku w punkcie A])

• symetri_{}e z poślizgiem - złożenie symetrii osiowej i przesuni_{}ecia o wektor równoległy do osi symetrii (szczególny przypadek to symetria osiowa [S_{k} - symetria osiowa wzgl_{}edem prostej k])

1.3. Izometrie dzielimy na parzyste i nieparzyste. Nieparzyste zmieniaj _{}a orientacj_{}e figur. Wszystkie izometrie nieparzyste s _{}a pewnymi symetriami z poślizgiem (być może zerowym).

1.4. Złożenie dwóch izometrii jest zawsze izometri _{}a, m.in:

• R_{A}^{α} ∘ R_{B}^{β} = R_{C}^{α+β} , gdzie C jest takim punktem, że ∠BAC = \frac{α}{2} i ∠CBA = \frac{β}{2} (jeśli α + β = 360^{∘}, otrzymamy przesuni_{}ecie o pewien wektor, dla dwóch symerii środkowych o środkach A, B, b_{}edzie to przesuniecie o wektor 2B⃗A)

• Tu⃗ ∘ Tv⃗ = T_{u⃗+v⃗}

• jeśli k ∥ l, to S_{k} ∘ S_{l} = T_{2u⃗}, gdzie u⃗ jest wektorem prostopadłym do k oraz Tu⃗(l) = k.

• jeśli k ∦ l, to S_{k} ∘ S_{l} = R_{A}^{2α}, gdzie A = k ∩ l oraz α jest k _{}atem pomi_{}edzy prostymi l i k.

2.ZADANKA

2.0. Dany jest równoległobok ABCD, w którym AB = x i BC = y. Punkt P należy do wn_{}etrza tego równoległoboku i P A = a, P B = b, P C = c, P D = d. Wykazać, że istnieje czworok _{}at wypukły o przek _{}atnych długości x i y oraz bokach długości a, b, c, d.

2.1. Punkt P należy do krótszego łuku AB okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie równobocznym ABC. Wykazać, że P A + P B = P C.

2.2. Dany jest k _{}at wypukły α i punkt A w jego wn_{}etrzu. Znaleźć takie punkty B i C należ _{}ace do różnych ramion tego k _{}ata, by obwód trójk _{}ata ABC był najmniejszy.

2.3. W czworok _{}acie wypukłym ABCD punkt P jest środkiem boku AD, a punkt Q jest środkiem boku BC. Wykazać, że 2 · P Q = AB + CD wtedy i tylko wtedy, gdy proste AB i CD s _{}a równoległe.

2.4. Punkty P, Q, R należ _{}a odpowiednio do boków BC, CA, AB trójk _{}ata ABC. Punkty K, L, M s _{}a środkami okr_{}egów opisanych odpowiednio na trójk _{}atach ARQ, BP R, CQP. Wykazać, że trójk _{}aty ABC i KLM s _{}a podobne.

2.5. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, a punkty K, L, M, N s _{}a odpowiednio środkami jego boków AB, BC, CD, DA. Proste k, l, m, n przechodz _{}a odpowiednio przez punkty K, L, M, N i s _{}a prostopadłe odpowiednio do prostych CD, DA, AB, BC. Wykazać, że proste k, l, m, n przecinaj _{}a si_{}e w jedym punkcie.

2.6. Trójk _{}aty równoboczne ABC i AEF maj _{}a tak _{}a sam _{}a orientacj_{}e. Punkty K, L, M s _{}a środkami odpowiednio odcinków BC, CE, EF. Wykazać, że KL = LM.