Izometrie

1. Na zewn _{}atrz boków AB i BC trójk _{}ata ABC zbudowano trójk _{}aty prostok _{}atne równoramienne P AB i QBC tak, że k _{}aty przy wierzchołkach P i Q s _{}a proste. Pokazać, że jeśli M to środek boku AC, to MP = MQ oraz ∠P MQ = 90^{∘}.

2. Dany jest sześciok _{}at wypukły ABCDEF i taki punkt P wewn _{}atrz niego, że trójk _{}aty ABP,CDP i EF P s _{}a równoboczne. Pokazać, że środki odcinków BC,DE oraz F A tworz _{}a wierzchołki trójk _{}ata równobocznego.

3. Na zewn _{}atrz trójk _{}ata ABC dobudowano takie trójk _{}aty ABR,BCP,CAQ, że ∠P BC = 45^{∘},∠P CB = 30^{∘},∠QAC = 45^{∘},∠QCA = 30^{∘},∠RAB = 15^{∘},∠RBA = 15^{∘}. Pokazać, że ∠QRP = 90^{∘} i QR = RP.

4. W sześciok _{}acie wypukłym ABCDEF zachodz _{}a rowności:

AB = BC, CD = DE, EF = F A, ∠ABC + ∠CDE + ∠EF A = 360^{∘}

Pokazać, że trójk _{}at BDF jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi ∠ABC = ∠CDE = ∠EF A = 120^{∘}.

5. Dany jest trójk _{}at ABC. Dla każdego punktu X na płaszczyźnie z wył _{}aczeniem okr_{}egu opisanego na ABC definiujemy F (X) nast_{}epuj _{}aco: odbijamy punkt X wzgl_{}edem prostych zawieraj _{}acyh boki trójk _{}ata ABC, na trzech otrzymanych punktach opisujemy okr _{}ag i F (X) jest jego środkiem. Pokazać, że F (F (P)) = P dla każdego punktu P dla którego F (P) jest określona.

6. Pokazać, że ze środkowych dowolnego trójk _{}ata da si_{}e zbudować trójk _{}at. Czy b_{}edzie to też prawd _{}a, jeśli środkowe zast _{}apimy prostymi dziel _{}acymi przeciwległe boki w dowolnym stosunku k?

7. W sześciok _{}acie wypukłym ABCDEF wszystkie boki s _{}a równej długości oraz

∠A + ∠C + ∠E = ∠B + ∠D + ∠F

. Dowieść, że przek _{}atne AD, BE i CF przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

8. Wyznaczyć wszystkie wartości wyrażenia 5ab+3bc+4ca dla liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c spełniaj _{}acych równości:

\{ \begin{matrix}a^{2} + b^{2} = 9 \\ 5a^{2} + 5c^{2} + 6ac = 80 \\ 5b^{2} + 5c^{2} + 8bc = 125 \end{matrix}