Zadania nieco trudniejsze

Termin: 19.11.2009

1. Dane są liczby wymierne a_{1}, …, a_{2n+1} spełniające warunek: jeśli pominiemy którąkolwiek z nich, to pozostałe można podzielić na 2 grupy po n liczb w ten sposób, że sumy liczb z obu grup są równe. Wykaż, że a_{1} = a_{2} = … =a_{2n+1} .

2. Udowodnij, że jeśli w grupie n osób każde dwie mają dokładnie jednego wspólnego znajomego, to istnieje wśród nich osoba, która zna wszystkich.

3. Rozsztrzygnąć, czy istnieje taki zbiór A ⊂ {1, 2, 3, …, 2^{1996} − 1} o mocy 2012, że:

• 1 ∈ A;

• 2^{1996} − 1 ∈ A;

• każdy element A różny od 1 jest sumą dwóch, niekoniecznie różnych elementów A.