KÓŁECZKO Z INWERSJI (12.03.2008)

1. TEORIA

1.0. Definicja: Inwersja to przekształcenie płaszczyzny bez punktu na ni _{}a sam _{}a. Niech O b_{}edzie środkiem inwersji, zaś r jej promieniem. Dla dowolnego punktu P ≠ O jego obrazem

jest punkt P′ leż _{}acy na półprostej OP taki, że OP · OP′= r^{2}.

1.1. Inwersja o środku O przekształca: Okr_{}egi przechodz _{}ace przez O na proste nieprzechodz _{}ace przez O Okr_{}egi nieprzechodz _{}ace przez O na okr_{}egi nieprzechodz _{}ace przez O Proste nieprzechodz _{}ace przez O na okr_{}egi przechodz _{}ace przez O Proste przechodz _{}ace przez O na nie same

1.2. Inwersja zachowuje punkty wspólne oraz k _{}aty mi_{}edzy figurami (k _{}at pomi_{}edzy krzywymi to k _{}at

pomi_{}edzy stycznymi do nich w punkcie przeci_{}ecia).

2.ZADANKA

2.0. Dane s _{}a trzy okr_{}egi, w tym dwa styczne. Skonstruować okr _{}ag styczny do tych trzech okr_{}egów.

2.1. Dany jest okr _{}ag o oraz punkty A i B inwersyjne wzgl_{}edem tego okr_{}egu. Punkt C należy do okr_{}egu o. Wykazać, że iloraz \frac{CA}{CB} nie zależy od wyboru punktu C.

2.2. Średnice AB i EF okr_{}egu o s _{}a prostopadłe. Punkt K należy odpowiednio do tego okr_{}egu, proste AK i BK przecinaj _{}a prost _{}a EF odpowiednio w punktach P i R. Wykazać,

że punkty P i R s _{}a inwersyjne wzgl_{}edem okr_{}egu o.

2.3. Dane s _{}a okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4}, przy czym okr_{}egi o_{1} i o_{2}, o_{2} i o_{3}, o_{3} i o_{4}, o_{4} i o_{1} s _{}a styczne zewn_{}etrznie w punktach A, B, C, D. Wykazać, że na czworok _{}acie ABCD można opisać okr _{}ag.

2.4. Dany jest trójk _{}at równoramienny ABC o podstawie BC i okr _{}ag o opisany na tym trójk _{}acie. Okr _{}ag o_{1} jest styczny do odcinka BC oraz do tego łuku BC okr_{}egu o, do którego nie należy punkt A. Wykazać, że okr _{}ag o_{1} jest okr_{}egiem stałym inwersji o środku A i promieniu AB.

2.5. Punkt C jest środkiem odcinka AB. Okr _{}ag o_{1} przechodz _{}acy przez punkty A i C przecina okr _{}ag o_{2} przechodz _{}acy przez punkty B i C w różnych punktach C i D. Punkt P

jest

środkiem tego łuku AD, na którym nie leży punkt C, a punkt Q jest środkiem tego łuku BD, na

którym nie leży C. Udowodnić, że proste CD i P Q s _{}a prostopadłe.

2.6. Dany jest okr _{}ag o oraz okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4}, o_{5}, o_{6} styczne wewn_{}etrznie do okr_{}egu o w punktach odpowiednio A, B, C, D, E, F, takie że okr_{}egi o_{1} i o_{2}, o_{2} i o_{3}, o_{3} i o_{4}, o_{4} i o_{5}, o_{5} i o_{6}, o_{6} i o_{1} s _{}a styczne zewn_{}etrznie. Wykazać, że proste AD, BE i CF przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2