Inwersja - wybór zadań

1. Proste k i l s _{}a wzajemnie prostopadłe i przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Okr_{}egi α_{1} i α_{2} przechodz _{}a przez P i s _{}a styczne do prostej k, zaś okr_{}egi β_{1} i β_{2} przechodz _{}a przez P i s _{}a styczne do prostej l. Oprócz punktu P, pary okr_{}egów α_{i} i β_{j} przecinaj _{}a si_{}e w punkcie A_{ij}, gdzie i, j ∈ {1, 1}. Pokazać, że punkty A_{ij} leż _{}a na jednym okr_{}egu.

2. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a styczne zewn_{}etrznie. Prosta k jest styczna do o_{1} w A i do a_{2} w B przy czym A ≠ B. Odcinek AC jest średnic _{}a o_{1}, prosta CE jest styczna do o_{2}. Pokazać, że CE = AC.

3. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Okr _{}ag o_{3} jest styczny zewn_{}etrznie do okr_{}egów o_{1} i o_{2} w odpowiednio punktach C i D, zaś okr _{}ag o_{4} również, ale w punktach E i F. Pokazać, że okr_{}egi opisane na trójk _{}atach ACD i AEF s _{}a styczne.

4. Okr _{}ag γ, wpisany w trójk _{}at ABC styczny jest do boków AC i BC odpowiednio w punktach E i F. Prosta EF przecina dwusieczn _{}a k _{}ata BAC w punkcie P. Pokazać, że ∠AP B = 90^{∘}.

5. Dany jest półokr _{}ag Γ o średnicy AB. Półokr_{}egi γ_{1} i γ_{2} maj _{}a jako średnice odcinki AC i CB, gdzie C należy do odcinka AB, oraz leż _{}a po tej samej stronie AB co Γ. Rodzina okr_{}egów α_{i} spełnia:

(a) Okr _{}ag α_{1} jest styczny wewn_{}etrznie do Γ i zewn_{}etrznie do γ_{1} i γ_{2}.

(b) Okr _{}ag α_{i} jest styczny wewn_{}etrznie do Γ i zewn_{}etrznie do γ_{1} i α_{i−1} dla i > 1.

Pokazać, że jeśli r_{i} to promień okr_{}egu α_{i} zaś h_{i} to odległość jego środka od prostej AB, to zachodzi h_{i} = 2ir_{i}.

6. Sfery γ_{1} i γ_{2} s _{}a styczne wewn_{}etrznie do sfery Γ. Sfery α_{1}, α_{2}, …, α_{k} s _{}a styczne wewn_{}etrznie do Γ, zewn_{}etrznie do γ_{1} i γ_{2} oraz dla każdego i sfera α_{i} jest styczna do α_{i−1} i α_{i+1} , gdzie indeksowanie zachodzi cyklicznie. Pokazać, że k = 6.