Skrypcik podstawowych własności inwersji w 10,5 fakcikach

DEF. Inwersja to przekształcenie płaszczyzny bez punktu w płaszczyzn_{}e bez punktu (nazywanego środkiem inwersji - O), takie, że dla każdego punktu X jego obraz leży na półprostej OX i zachodzi OX · OX′ = r^{2} gdzie r jest promieniem inwersyjnym. Zauważmy, że wówczas okr _{}ag o promieniu r i środku w O przechodzi w inwersji sam na siebie.

FAKT1 Złożenie inwersji z sam _{}a sob _{}a jest identyczności _{}a.

Dowód: skoro punkt X′ jest obrazem X, to X jest obrazem X′ z symetrii definicji inwersji ze wzgl_{}edu na X i X′. Zatem inwersja jest sama do siebie przekształceniem odwrotnym.

FAKT2 Złożenie dwóch inwersji współśrodkowych o promieniach r_{1} i r_{2} jest jednokładności _{}a o skali \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} o środku w O.

Dowód: niech X b_{}edzie punktem, X′ jego obrazem w pierwszej inwersji zaś X′′obrazem w złożeniu. Wówczas z definicji mamy, że OX · OX′ = r_{1}^{2} i OX′· OX′′= r_{2}^{2}. Dziel _{}ac drugie równanie przez pierwsze mamy, że \frac{OX′′}{OX} = \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} czyli definicji ż _{}adanej jednokładności.

FAKT3 Niech A i B b_{}ed _{}a punktami zaś A′, B′ ich obrazami w inwersji wzgl_{}edem O i o promieniu r. Wówczas punkty A, B, A′, B′ leż _{}a na jednym okr_{}egu.

Dowód: z definicji mamy, że OA · OA′ = r^{2} = OB · OB′ wi_{}ec z tw. odwrotnego do tw. o pot_{}edze punktu wzgl_{}edem okr_{}egu ż _{}adane punkty s _{}a na jednym okr_{}egu.

FAKT4 Obrazem prostej jest okr _{}ag przechodz _{}acy przez środek inwersji (bez środka inwersji).

Dowód: Niech A b_{}edzie rzutem O - środka inwersji na prost _{}a k, której obraz chcemy otrzymać, zaś A′ jego obrazem. Niech C b_{}edzie dowolnym innym punktem prostej k a C′ jego obrazem. Wówczas z faktu3 wynika, że punkty A, C, A′, C′ leż _{}a na jednym okr_{}egu, wi_{}ec suma k _{}atów ∠A′AC i ∠CC′A′ to k _{}At pólpełny, wi_{}ec skoro ∠A′AC jest prosty to i ∠CC′A′ także. Zatem k _{}at OC′A′ jest zawsze prosty, wi_{}ec punkty C′ leż _{}a na okr_{}egu o średnicy OA′. Jednocześnie cały ten okr _{}ag jest realizowalny, gdyż każda półprosta przecinaj _{}aca prost _{}a k realizuje pewien punkt C′. Oczywiście z tego faktu wynika, że obrazem okr_{}egu przechodz _{}acego przez środek inwersji jest prosta.

FAKT5 Obrazem okr_{}egu nieprzechodz _{}acego przez środek inwersji jest okr _{}ag nieprzechodz _{}acy przez środek inwersji.

Dowód: niech k b_{}edzie naszym okż_{}egiem zaś S jego środkiem. Niech punkty A, B b_{}ed _{}a przeci_{}eciami prostej OS z okr_{}egiem zaś A′, B′ich obrazami. Niech C b_{}edzie dowolnym punktem okr_{}egu k a C′ jego obrazem. Wówczas z faktu3 punkty A, A′, C, C′ leż _{}a na jednym okr_{}egu wi_{}ec łatwo zauwaźyć, że z warunku wpisywalnoŚci czworok _{}ata w okr _{}ag i k _{}atów przyle”głych ∠OC′A′ = ∠CAO = α, analogicznie ∠OC′B′ = ∠CBO = β. Rozważaj _{}ac zatem tw. o k _{}acie zewn_{}etrznym dla trójk _{}ata ABC mamy że oba k _{}aty ∠ACB i ∠A′C′B′maj _{}a miar_{}e |α − β|, wi_{}ec skoro k _{}at ∠ACB jest prosty to i ∠A′C′B′ jest prosty, wi_{}ec wszystkie punkty C′ leż _{}a na okr_{}egu ośrednicy A′B′. Analogicznie jak poprzednio pokazujemy, że cały okr _{}ag jest realizowalny.

FAKT5a Obrazem prostej przechodz _{}acej przez środek inwersji jest ta sama prosta.

Dowód: Po prostu punkty z wn_{}etrza okr_{}egu inwersyjnego zamieniaj _{}a si_{}e z tymi na zewn _{}atrz.

FAKT6 Niech A, B punkty na płaszczyźnie, zaś A′, B′ ich obrazy przy inwersji o środku w O i promieniu r. Wówczas A′B′= AB · \frac{r^{2}}{OA·OB}.

Dowód: Zauważmy, że z faktu3 wynika, że A, A′, B, B′leż _{}a na jednym okr_{}egu. Wówczas łatwo na k _{}atach policzyć, że trójk _{}aty AOB i B′OA′ s _{}a podobne (z cechy KKK, co wynika z k _{}atów przyległych i warunki opisywalności okr_{}egu na czworok _{}acie). Zatem mamy, że \frac{A′B′}{AB} = \frac{OA′}{OB}. Ale z definicji inwersji mamy, że OA′= \frac{r^{2}}{OA}. Wstawiaj _{}ac to do wzorku otrzymujemy, że \frac{A′B′}{AB} = \frac{r^{2}}{OA·OB} co po przemnożeniu przez AB jest szukanym wzorem.

FAKT7 Konstrukcja inwersji: Mamy punkt X poza okr_{}egiem inwersyjnym o środku w O. Kreślimy styczn _{}a do okr_{}egu z punktu X a punkt styczności to G. Wówczas punkt X′- rzut G na prost _{}a OX jest szukanym obrazem. Aby uzyskać konstrukcj_{}e dla punktu wewn _{}atrz odwracamy całe post_{}epowanie.

Dowód: Ze styczności k _{}at OGX jest prosty. Zatem z cechy podobieństwa KKK trójk _{}aty OGX i OX′G s _{}a podobne (bo jeden k _{}at wspólny a jeden prosty). Wi_{}ec mamy, że: \frac{OX′}{OG} = \frac{OG}{OX}. Wymnażaj _{}ac stronami mamy, że OX · OX′= OG^{2} = r^{2} czyli definicj_{}e inwersji.

FAKT8 Inwersja, jak każde przekształcenie różnowartościowe nie dodaje krzywym nowych punktów przeci_{}ecia. Zatem np. obrazem okr_{}egów stycznych nieprzechodz _{}acyh przez środek inwersji b_{}ed _{}a okr_{}egi styczne, zaś obrazem tych okr_{}egów wzgl_{}edem ich punktu styczności b_{}ed _{}a dwie proste równoległe. Obrazem dwóch przecinaj _{}acych si_{}e okr_{}egów w inwersji o środku w jednym z tych punktów przeci_{}eć s _{}a dwie proste przecinaj _{}ace si_{}e w obrazie drugiego punnktu przeci_{}ecia.

FAKT9 Jedynymi okr_{}egami przechodz _{}acymi same na siebie s _{}a okr_{}egi ortogonalne (prostopadłe) z inwersyjnym (no i on sam).

Dowód: Niech O b_{}edzie środkiem inwersji, k okr_{}egiem inwersyjnym zaś l okr_{}egiem przechodz _{}acym sam na siebie. Zauważmy, że l jeśi nie jest równy k to nie może zawierać we wn_{}etrzu punktu O, gdyż w przeciwnym razie każda półprosta od punktu O do punktu z okr_{}egu l zawierałaby dokładnie jeden punkt z okr_{}egu l, wi_{}ec te wszystkie punkty, aby przejść w inwersji na punkty z l musiałyby przejść same na siebie, wi_{}ec wszystkie leżałyby na k. Zatem założmy, że O leży na zewn _{}atrz l. Poprowadźmy wi_{}ec styczne do l z O i niech punkty styczności to P i R. Zauważmy, że te punkty to jedyne punkty na półprostych OP i OR należ _{}ace do l, wi_{}ec w inwersji musz _{}a przejść same na siebie. Zatem P i R leż _{}a na okr_{}egu k. Poprowadźmy proste p,r, prostopadłe do półprostych OP i OR w punktach P i R odpowiednio. Ponieważ te pólproste s _{}a w tych punktach styczne do okr_{}egu l, to p i r zawieraj _{}a promienie okr_{}egu l, wi_{}ec przecinaj _{}A si_{}e w jego środku. Jednocześnie jako, że proste te s _{}a prostopadłe do promieni okr_{}egu k, to s _{}a one stycznymi do okr_{}egu k. Zatem styczne obu okr_{}egów w punkcie przeci_{}ecia s _{}a prostopadłe, wi_{}ec okr_{}egi s _{}a ortogonalne.

FAKT10 Inwersja zachowuje k _{}aty mi_{}edzy krzywymi. W szczególności przekształca okr_{}egi i proste ortogonalne na okr_{}egi i proste ortogonalne (dwie proste ortogonalne to proste prostopadłe a prosta ortogonalna do okr_{}egu to prosta zawieraj _{}aca jego średnic_{}e)

Dowód: Jakieś obrzydliwe przeliczenie na k _{}atach, które zostawiam czytelnikowi :)